2020届高考数学大二轮复习层级二专题三数列第2讲数列求和及综合应用教学案.docx

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1、第2讲　数列求和及综合应用[考情考向·高考导航]1．已知数列递推关系求通项公式，主要考查利用an与Sn的关系求通项公式，利用累加法、累乘法及构造法求通项公式，主要以选择题、填空题的形式考查，有时作为解答的第(1)问考查，难度中等．2．数列求和常与数列综合应用一起考查，常以解答题的形式考查，有时与函数不等式综合在一起考查，难度中等偏上．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2a

2、n＋1　①Sn－1＝2an－1＋1　②①－②得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1即＝2，∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列，∴S6＝＝－63.答案：－632．(2019·天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，依题意，得解得故an

3、＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以，{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)＝3n2＋6×(1×31＋2×32＋…＋n×3n)．记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，　①则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1＝－＋n×3n

4、＋1＝.所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N*)．[主干整合]1．数列通项(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误．2．数列求和(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相

5、消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列．热点一　求数列的通项公式[例1]　(1)(2020·临沂模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)A．2＋lnn　　　　　　　　B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn(2)(2020·成都模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，Sn＝n2an(n∈N)．则数列{an}的通项公式为____________

6、．[解析]　(1)由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2，所以an－an－1＝ln(n≥2)，an－1－an－2＝ln，…a2－a1＝ln，将以上n－1个式子叠加，得an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln＝lnn.所以an＝2＋lnn(n≥2)，经检验n＝1时也适合．故选A.(2)由Sn＝n2an，(ⅰ)得当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)，得an＝n2an－(n－1)2an－1(n≥2，n∈N*)，所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝(n≥2)，因为a1····…·＝×××·…·＝，

7、又a1＝，符合上式，所以an＝.[答案]　(1)A　(2)an＝1．数列{an}中，an与Sn的关系an＝2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．(1)数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的

8、前n项和，且满足＝1(n≥2)．则数列{an}的通项公式为________________．解析：由已知，当n≥2时，＝1，所以＝1，即＝1，所以－＝.又S1＝a1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．所以＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.因此an＝答案：