2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第3讲导数的简单应用教学案.docx

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1、第3讲　导数的简单应用[考情考向·高考导航]1．此部分内容是高考命题的热点内容．在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小．2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度属中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度中档．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　　)A．x－y－π－1＝0　　　　　B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：C　[∵y′＝2cosx－sinx，∴切线斜率k＝2cosπ－sinπ＝－2，∴在点(

2、π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.]2．(全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析：A　[f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x＜－2或x＞1时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，则f(x)极小值为f(1)＝－1.]

3、3．(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．解析：由函数的解析式可得：f′(x)＝ex×lnx＋ex×＝ex(lnx＋)，则：f′(1)＝e1×(ln1＋)＝e.即f′(1)的值为e.答案：e4．(2019·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为(　　)A．[0,1]B．[0,2]C．[0，e]D．[1，e]解析：C　[首先f(0)≥0，即a≥0，当0≤a≤1时，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2＋2a－a2≥2a－a2＝a(2－a)＞0，

4、当a＜1时，f(1)＝1＞0，故当a≥0时，x2－2ax＋2a≥0在(－∞，1]上恒成立；若x－alnx≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝，则g′(x)＝，易知x＝e为函数g(x)在(1，＋∞)唯一的极小值点、也是最小值点，故g(x)max＝g(e)＝e，所以a≤e.综上可知，a的取值范围是[0，e]．故选C.][主干整合]1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数与函数单调性的关系(1)f′(x)＞0是f(

5、x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．3．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值．(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件．(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点．4．函

6、数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．热点一　导数的几何意义[例1]　(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)A．a＝e，b＝－1　　　　　　B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1[解析]　D　[y′＝aex＋lnx＋1

7、，k＝y′

8、x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴即a＝e－1，b＝－1.故选D.](2)(2019·成都二模)已知曲线C1：y2＝tx(y＞0，t＞0)在点M处的切线与曲线C2：y＝ex＋1－1也相切，则tln的值为(　　)A．4e2B．8eC．2D．8[解析]　D　[曲线C1：y＝，y′＝.当x＝时，y′＝，切线方程为y－2＝，化简为y＝x＋1.①与曲线C2相切，设切点为(x0，y0)，y′

9、x＝x0＝ex