2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第4讲导数的综合应用与热点问题教学案（文）.docx

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1、第4讲　导数的综合应用与热点问题[考情考向·高考导航]导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数证明不等式或探讨方程的根．(2)利用导数求解参数的范围或值．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.解析：(1)由题意：f(x)＝得f′(x)＝＝；∴f′(0)＝＝2；即曲线y＝f(x)在点(0，

2、－1)处的切线斜率为2，∴y－(－1)＝2(x－0)，即2x－y－1＝0.(2)当a≥1时，f(x)＋e≥，令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1，当x＜－1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＞－1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.因此当a≥1，f(x)＋e≥0.2．(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)f′(x)＝＋

3、lnx－1＝lnx－，因为y＝lnx单调递增，y＝单调递减，所以f′(x)单调递增，又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln2－＝＞0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞x0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)＜f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3＞0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝a.由α＞x0＞1得＜1＜x0.又f＝ln－－1＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅

4、有两个实根，且两个实根互为倒数．[主干整合]1．常见构造辅助函数的四种方法(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)．(2)构造“形似”函数：稍作变形后构造．对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)适当放缩后再构造：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．(4)构造双函数：若直接构造函数求导，难以判断符号，

5、导数的零点也不易求得，因此单调性和极值点都不易获得，从而构造f(x)和g(x)，利用其最值求解．2．不等式的恒成立与能成立问题(1)f(x)＞g(x)对一切x∈[a，b]恒成立⇔[a，b]是f(x)＞g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min＞0(x∈[a，b])．(2)f(x)＞g(x)对x∈[a，b]能成立⇔[a，b]与f(x)＞g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max＞0(x∈[a，b])．(3)对∀x1，x2∈[a，b]使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.(4)对∀x1∈[a，b]，∃x2∈[

6、a，b]使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.3．零点存在性定理在函数的零点问题中的应用第一步：求导函数　根据导数公式，求出函数的导函数，并写出定义域．第二步：讨论单调性　由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)讨论函数的单调性．第三步：定区间端点处的函数值符号　确定单调区间端点处的函数值及符号．第四步：判定零点　根据零点存在性定理判断零点存在与否及其个数．4．分离参数法、数形结合法解决函数的零点问题第一步：分离参变量　由已知的含参方程将参数与已知变量分离．第二步：研究函数　将已知范围的变量的代数式作为函数，利用导数研究其图象．第三

7、步：利用图象找交点　利用图象找到产生不同交点个数的参数的取值范围．第四步：运动定范围　通过改变未知变量的范围找出临界条件．热点一　利用导数研究不等式问题利用导数证明不等式[例1－1]　(2019·梅州三模节选)已知函数f(x)＝ln(x－1)．(1)证明：f(x＋1)≤－；(2)证明：e2x－2(x－1)ex≥2x＋3.[审题指导]　第(1)小题利用移项作差构造法构造函数，通过求导研究函数的单调性，求解最值即可；第(2)小题利用换元的思想和第(1)小题的结论证明不等式．[解析]　(1)令h(x)＝f(x＋1)－＋(x＞0)，则h(x)＝lnx－＋，h

8、′(x)＝－－＝＝，所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，所以h(x