（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（三） 理.doc

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1、综合仿真练(三)(理独)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]设a，b∈R.若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值．解：法一：在直线l：ax＋y－7＝0上取点M(0,7)，N(1，7－a)，由＝，＝，可知点M(0,7)，N(1,7－a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′(0,7b)，N′(3，b(7－a)－1)，由题意可知：M′，N′在直线9x＋y－91＝0上，∴解得∴实数a，b的值分别为2,13.法二：设直线l上任意一点P

2、(x，y)，点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x′，y′)，则＝，∴由Q(x′，y′)在直线l′：9x＋y－91＝0上，∴27x＋(－x＋by)－91＝0，即26x＋by－91＝0，∵点P在ax＋y－7＝0上，∴＝＝，解得a＝2，b＝13.∴实数a，b的值分别为2,13.B．[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A，B的极坐标分别为，，曲线C的方程为ρ＝r(r>0)．(1)求直线AB的直角坐标方程；(2)若直线AB和曲线C有且只有一

3、个公共点，求r的值．解：(1)分别将A，B转化为直角坐标为A(0,4)，B(－2，－2)，所以直线AB的直角坐标方程为3x－y＋4＝0.4(2)曲线C的方程为ρ＝r(r>0)，其直角坐标方程为x2＋y2＝r2(r>0)．因为直线AB和曲线C有且只有一个公共点，所以直线与圆相切，因为圆心到直线AB的距离为＝，所以r的值为.C．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba>ab.证明：∵ba>0，ab>0，∴要证ba>ab，只要证alnb>blna,只要证>，构造函数f(x)＝，x∈(e，＋∞

4、)．则f′(x)＝，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0在区间(e，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在x∈(e，＋∞)上是单调递减的，所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>，故ba>ab得证．2．(2019·苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A，B，C三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在A，B，C三处投中的概率均分别为，，.(1)设X表示甲运动员投中的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率．解：(1)根据题意可知，随机变量X的

5、所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝××＝；P(X＝1)＝××＋××＋××＝；P(X＝2)＝××＋××＋××＝；P(X＝3)＝××＝.所以X的分布列为4X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)设Y表示乙运动员投中的个数，由(1)可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝3)＝.所以P(X＝2，Y＝3)＝P(X＝3，Y＝2)＝×＝，P(X＝3，Y＝3)＝×＝，所以P(X＋Y≥5)＝P(X＝2，Y＝3)＋P(X＝3，Y＝2)＋P(X＝3，Y＝3)＝.所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概

6、率为.3．设P(n，m)＝(－1)kC，Q(n，m)＝C，其中m，n∈N*.(1)当m＝1时，求P(n,1)·Q(n,1)的值；(2)对∀m∈N*，证明：P(n，m)·Q(n，m)恒为定值．解：(1)当m＝1时，P(n,1)＝(－1)kC＝(－1)kC＝，又Q(n,1)＝C＝n＋1，显然P(n,1)·Q(n,1)＝1.(2)证明：P(n，m)＝(－1)kC＝1＋(－1)k(C＋C)＋(－1)n＝＋＝(－1)kC＋(－1)kC4＝P(n－1，m)＋(－1)kC＝P(n－1，m)－(－1)kC＝P(n－1，m)－P(n，m)即P(n，m)

7、＝P(n－1，m)，由累乘，易求得P(n，m)＝P(0，m)＝，又Q(n，m)＝C，所以P(n，m)·Q(n，m)＝1为定值．4