(江苏专用)2020高考数学二轮复习 综合仿真练(三) 理.doc

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1、综合仿真练(三)(理独)1.本题包括A、B、C三个小题,请任选二个作答A.[选修4-2:矩阵与变换]设a,b∈R.若直线l:ax+y-7=0在矩阵A=对应的变换作用下,得到的直线为l′:9x+y-91=0.求实数a,b的值.解:法一:在直线l:ax+y-7=0上取点M(0,7),N(1,7-a),由=,=,可知点M(0,7),N(1,7-a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′(0,7b),N′(3,b(7-a)-1),由题意可知:M′,N′在直线9x+y-91=0上,∴解得∴实数a,b的值分别为2,13.法二:设直线l上任意一点P

2、(x,y),点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x′,y′),则=,∴由Q(x′,y′)在直线l′:9x+y-91=0上,∴27x+(-x+by)-91=0,即26x+by-91=0,∵点P在ax+y-7=0上,∴==,解得a=2,b=13.∴实数a,b的值分别为2,13.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](2019·南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A,B的极坐标分别为,,曲线C的方程为ρ=r(r>0).(1)求直线AB的直角坐标方程;(2)若直线AB和曲线C有且只有一

3、个公共点,求r的值.解:(1)分别将A,B转化为直角坐标为A(0,4),B(-2,-2),所以直线AB的直角坐标方程为3x-y+4=0.4(2)曲线C的方程为ρ=r(r>0),其直角坐标方程为x2+y2=r2(r>0).因为直线AB和曲线C有且只有一个公共点,所以直线与圆相切,因为圆心到直线AB的距离为=,所以r的值为.C.[选修4-5:不等式选讲]已知a,b∈R,a>b>e(其中e是自然对数的底数),求证:ba>ab.证明:∵ba>0,ab>0,∴要证ba>ab,只要证alnb>blna,只要证>,构造函数f(x)=,x∈(e,+∞

4、).则f′(x)=,x∈(e,+∞),f′(x)<0在区间(e,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在x∈(e,+∞)上是单调递减的,所以当a>b>e时,有f(b)>f(a),即>,故ba>ab得证.2.(2019·苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A,B,C三处进行定点投篮训练,每人在这三处各投篮一次,每人每次投篮是否投中均相互独立,且甲、乙两人在A,B,C三处投中的概率均分别为,,.(1)设X表示甲运动员投中的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率.解:(1)根据题意可知,随机变量X的

5、所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=××=;P(X=1)=××+××+××=;P(X=2)=××+××+××=;P(X=3)=××=.所以X的分布列为4X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示乙运动员投中的个数,由(1)可知,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=.所以P(X=2,Y=3)=P(X=3,Y=2)=×=,P(X=3,Y=3)=×=,所以P(X+Y≥5)=P(X=2,Y=3)+P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=3)=.所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概

6、率为.3.设P(n,m)=(-1)kC,Q(n,m)=C,其中m,n∈N*.(1)当m=1时,求P(n,1)·Q(n,1)的值;(2)对∀m∈N*,证明:P(n,m)·Q(n,m)恒为定值.解:(1)当m=1时,P(n,1)=(-1)kC=(-1)kC=,又Q(n,1)=C=n+1,显然P(n,1)·Q(n,1)=1.(2)证明:P(n,m)=(-1)kC=1+(-1)k(C+C)+(-1)n=+=(-1)kC+(-1)kC4=P(n-1,m)+(-1)kC=P(n-1,m)-(-1)kC=P(n-1,m)-P(n,m)即P(n,m)

7、=P(n-1,m),由累乘,易求得P(n,m)=P(0,m)=,又Q(n,m)=C,所以P(n,m)·Q(n,m)=1为定值.4

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1、综合仿真练(三)(理独)1.本题包括A、B、C三个小题,请任选二个作答A.[选修4-2:矩阵与变换]设a,b∈R.若直线l:ax+y-7=0在矩阵A=对应的变换作用下,得到的直线为l′:9x+y-91=0.求实数a,b的值.解:法一:在直线l:ax+y-7=0上取点M(0,7),N(1,7-a),由=,=,可知点M(0,7),N(1,7-a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′(0,7b),N′(3,b(7-a)-1),由题意可知:M′,N′在直线9x+y-91=0上,∴解得∴实数a,b的值分别为2,13.法二:设直线l上任意一点P

2、(x,y),点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q(x′,y′),则=,∴由Q(x′,y′)在直线l′:9x+y-91=0上,∴27x+(-x+by)-91=0,即26x+by-91=0,∵点P在ax+y-7=0上,∴==,解得a=2,b=13.∴实数a,b的值分别为2,13.B.[选修4-4:坐标系与参数方程](2019·南通、泰州等七市三模)在直角坐标平面内,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A,B的极坐标分别为,,曲线C的方程为ρ=r(r>0).(1)求直线AB的直角坐标方程;(2)若直线AB和曲线C有且只有一

3、个公共点,求r的值.解:(1)分别将A,B转化为直角坐标为A(0,4),B(-2,-2),所以直线AB的直角坐标方程为3x-y+4=0.4(2)曲线C的方程为ρ=r(r>0),其直角坐标方程为x2+y2=r2(r>0).因为直线AB和曲线C有且只有一个公共点,所以直线与圆相切,因为圆心到直线AB的距离为=,所以r的值为.C.[选修4-5:不等式选讲]已知a,b∈R,a>b>e(其中e是自然对数的底数),求证:ba>ab.证明:∵ba>0,ab>0,∴要证ba>ab,只要证alnb>blna,只要证>,构造函数f(x)=,x∈(e,+∞

4、).则f′(x)=,x∈(e,+∞),f′(x)<0在区间(e,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在x∈(e,+∞)上是单调递减的,所以当a>b>e时,有f(b)>f(a),即>,故ba>ab得证.2.(2019·苏州中学期初)甲、乙两名运动员站在A,B,C三处进行定点投篮训练,每人在这三处各投篮一次,每人每次投篮是否投中均相互独立,且甲、乙两人在A,B,C三处投中的概率均分别为,,.(1)设X表示甲运动员投中的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概率.解:(1)根据题意可知,随机变量X的

5、所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=××=;P(X=1)=××+××+××=;P(X=2)=××+××+××=;P(X=3)=××=.所以X的分布列为4X0123P所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.(2)设Y表示乙运动员投中的个数,由(1)可知,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=.所以P(X=2,Y=3)=P(X=3,Y=2)=×=,P(X=3,Y=3)=×=,所以P(X+Y≥5)=P(X=2,Y=3)+P(X=3,Y=2)+P(X=3,Y=3)=.所以甲、乙两名运动员共投中的个数不少于5的概

6、率为.3.设P(n,m)=(-1)kC,Q(n,m)=C,其中m,n∈N*.(1)当m=1时,求P(n,1)·Q(n,1)的值;(2)对∀m∈N*,证明:P(n,m)·Q(n,m)恒为定值.解:(1)当m=1时,P(n,1)=(-1)kC=(-1)kC=,又Q(n,1)=C=n+1,显然P(n,1)·Q(n,1)=1.(2)证明:P(n,m)=(-1)kC=1+(-1)k(C+C)+(-1)n=+=(-1)kC+(-1)kC4=P(n-1,m)+(-1)kC=P(n-1,m)-(-1)kC=P(n-1,m)-P(n,m)即P(n,m)

7、=P(n-1,m),由累乘,易求得P(n,m)=P(0,m)=,又Q(n,m)=C,所以P(n,m)·Q(n,m)=1为定值.4

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