（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（三）.doc

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1、综合仿真练(三)1．已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，cos2x)．(1)当x＝时，求m·n的值；(2)若x∈，且m·n＝－，求cos2x的值．解：(1)当x＝时，m＝，n＝，所以m·n＝－＝.(2)m·n＝cosxsinx－cos2x＝sin2x－cos2x－＝sin－，若m·n＝－，则sin－＝－，即sin＝，因为x∈，所以－≤2x－≤，所以cos＝，则cos2x＝cos＝cos×cos－sinsin＝×－×＝.2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．(1)求证：MN∥

2、平面AA1C1C；(2)若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN.证明：(1)法一：取A1C1的中点P，连结AP，NP.因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝A1B1.8在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB.所以NP∥AB，且NP＝AB.因为M为AB的中点，所以AM＝AB.所以NP＝AM，且NP∥AM，所以四边形AMNP为平行四边形，所以MN∥AP.因为AP⊂平面AA1C1C，MN⊄平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C.法

3、二：取BC的中点Q，连结NQ，MQ.由三棱柱可得，四边形BCC1B1为平行四边形．又Q，N分别为BC，B1C1的中点，所以CQ∥C1N，CQ＝C1N，所以四边形CQNC1为平行四边形．所以NQ∥CC1.因为NQ⊂平面MNQ，CC1⊄平面MNQ，所以CC1∥平面MNQ.因为AM＝MB，CQ＝QB，所以MQ∥AC.同理可得AC∥平面MNQ.因为AC⊂平面AA1C1C，CC1⊂平面AA1C1C，AC∩CC1＝C，所以平面MNQ∥平面AA1C1C.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面AA1C1C.(2)因为CA＝CB，M为AB

4、的中点，所以CM⊥AB.因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1.在三棱柱ABCA1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN⊥BC.因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC，CN⊂平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以CN⊥AB.因为CM⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，CM∩CN＝C，所以AB⊥平面CMN.3.(2019·海门中学模拟)某城市有一矩形街心广场ABCD，其中AB＝4百米，BC＝3百米，在其中心P处(AC中点)有一观景亭．现将挖掘一个三角

5、形水池PMN种植荷花，其中M点在BC边上，N点在AB边上，满足∠MPN＝45°.设∠PMC＝θ.(1)将PM表示为角θ的函数，并求出cosθ的取值范围；8(2)求水池△PMN面积的最小值．解：(1)∵矩形ABCD，AB＝4百米，BC＝3百米，∴AC＝5百米，∵P为AC中点，∴AP＝CP＝百米．设∠ACB＝α，则α∈且sinα＝，cosα＝在△CPM中，＝，即＝∴PM＝，当点M在B处时，θ即为∠PBC＝∠PCB＝α，则cosθ＝，当点N在B处时，θ＝∠PBC＋＝α＋，cosθ＝cos＝×－×＝－∴cosθ的取值范围为(0

6、<θ<π).(2)在△APN中，＝，即＝，∴PN＝S△PMN＝×PM×PN×sin＝··＝∴当2θ－＝，即θ＝∈(0，π)时，sinmax＝1，则(S△PMN)min＝＝3(－1)此时cosθ＝<符合条件．答：水池△PMN面积的最小值为(3－3)百米2.4.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；8(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的

7、值；(3)记直线l与y轴的交点为P.若＝，求直线l的斜率k.解：(1)因为椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，所以＋＝1.因为e2＝＝，所以＋＝1，又a2＝b2＋c2，＋＝1，解得b2＝4或b2＝8(舍去)．所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)．联立直线l与椭圆方程消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得(2k2＋1)x

8、2＝8，解得x2＝.因为MN∥l，所以＝，因为(1－x1)·(x2－1)＝－[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝，(xM－xN)2＝4x2＝.所以＝×＝.(3)在y＝k(x－1)中，令x＝0，则y＝－k，所以P(0，－k)，从而＝(－x1，－k－y1)，＝(x2－1，y2)，∵＝，∴－x1＝(x2－1)，即x1＋x2＝，①8由(2)