菱形的性质与判定的综合应用.docx

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1、从一道证明题谈起1.写在前面亲爱的同学们，在学习本节课时相信大家这道探究题的印象是非常深刻的，原因在哪里呢？让我们再来回顾一下.求证：菱形的面积等于其对角线乘积的一半已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。求证：S菱形ABCD=AC×BD证明：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∵S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC且S△ABC=AC×OB，S△ADC=AC×OD∴S菱形ABCD=AC×(OB+OD)=AC×BD2.一类四边形面积求解的方法相信同学们完成探究题后都会对菱形面积的处理感觉非常妙，对于这种解题的技巧你是一笑而过，还是让你陷入了沉思呢？今天就让我们一起深入

2、探讨一类图形的面积求解问题。通过本节课的学习我们知道菱形的面积不仅可以用底乘以高来求，而且知道菱形的面积等于对角线乘积的一半.即如上图所示：S菱形ABCD=AC×BD.仔细分析上述的证明过程我们会发现，我们日常生活中常见的风筝的形状即“筝形”也是可以用这种方法求解的.图2例2如图2，四边形ABCD是我们常见的风筝的图案，其中对角线BD长为20cm，AC长为40cm，AC垂直平分BD，垂足为E，求筝形ABCD的面积.解析：由已知：S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CE=×BD×(AE+CE)=×BD×AC.我们发现这个结论对于筝形依然成立.那么到底满足什

3、么条件的图形可以通过这种方法求面积呢？仔细观察不难发现，只要四边形的对角线互相垂直我们就可以利用这一结论求解.图3例3如图3，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm，AC长为15cm，垂足为E，求四边形ABCD的面积.解析：通过上述求解过程，同学们应该能求出结果为150cm².研究到这里，我们可以得出一个结论结论1：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.3.普通四边形面积求解的拓展通过结论1的研究对于普通的对角线不垂直的四边形的面积的求解能不能有什么启示呢？下面让我们一起来研究.如图4所示四边形ABCD的对角线BD长为20cm，根据前面三个

4、例题的求解方式只要我们知道AE与CF的长度即可求出四边形的面积，仿照上面写出如下算式：S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CF=×BD×(AE+CF).通过这个算式我们发现我们刚开始猜想的知道AE与CF的长度即可求出四边形的面积，这一条件可以简化为知道AE+CF即可求出四边形的面积。图4于是我们就得出了第二条结论：结论2：任意四边形的面积等于一条对角线与其余两顶点到这条对角线距离和的乘积的一半.以上的研究就是从课本的一道例题想到的，同学们对于数学知识的学习，我们不能仅仅满足于一个个的题目会解，更要学会反思研究，思考每一个结论，每一个题目背后的本质.下面就

5、让我们进入小试牛刀环节，来体验研究的成果吧.4.若有所思之后的小试牛刀：图6图5(1)如图5，矩形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，EF∥AD,点G、H分别是AD、BC上任一点，则四边形EGFH的面积等于cm².(2)如图6，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm，四边形ABCD的面积为24cm，则两条平行线间的距离为cm.答案:(1)12；(2)2.