2020年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）.docx

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1、2020年湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合，，则　　A．B．，C．D．，2．（5分）若复数为纯虚数，则实数　　A．B．C．1D．23．（5分）下列结论中正确的个数是　　①在中，若，则是等腰三角形；②在中，若，则；③两个向量共线的充要条件是存在实数，使；④等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数．A．0B．1C．2D．34．（5分）已知向量，，且，则向量在方向上的投影为　　A．B．C．D．5．（5分）郴州市某校高一班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但

2、由于是高峰期，景馆为高一班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线　　A．24B．18C．16D．106．（5分）函数的大致图象是　　第23页（共23页）A．B．C．D．7．（5分）我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是　　A．五

3、寸B．二尺五寸C．五尺五寸D．四尺五寸8．（5分）已知，满足约束条件，若的最大值是16，则的值为　　A．2B．C．4D．第23页（共23页）9．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆上的点到直线的距离最小值为，若双曲线上一点，使，则的值为　　A．3B．2C．D．10．（5分）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是　　A．，B．，C．D．11．（5分）已知函数，若正实数，满足，则的最小值为　　A．7B．C

4、．D．12．（5分）在边长为的菱形中，，沿对角线对折，使得到，且，则四面体外接球表面积为　　A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13．（5分）在的展开式中，常数项是　　．（用数字作答）14．（5分）设等差数列满足，，，则数列的前项和为　　．15．（5分）如图，是上一点，以，，为直径作半圆．过作，与半圆相交于，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是　　．第23页（共23页）16．（5分）已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，，使得，则椭圆的离心率的取值范围是　　．三、解答题：共70分，解答应写出文字

5、说明，演算步骤或证明过程.17题-21题为必考题.22题、23题为选考题.17．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且向量与向量共线．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，，求三角形的面积．18．（12分）如图，在五棱锥中，平面，，，，，，，是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求由平面与平面构成的锐二面角的余弦值．19．（12分）郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关．如果最高气温不低于25，需求量为500第23页（共23页）瓶；如果最高

6、气温位于区间，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温，，，，，，天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？20．（12分）已知点在椭圆上，点为平面上一点，0为坐标原点．（Ⅰ）当取最小值时，求椭圆的方程；（Ⅱ）对（1）中的椭圆，为其上一点，若过点的直线与椭圆相交于不

7、同的两点和，且满足，求实数的取值范围．21．（12分）设函数，，其中，是自然对数的底数．（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）当，设，，若在上存在两个极值点，，且，求证：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，且，，以原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．第23页（共23页）（