线名师指点高考之数列.doc

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1、一线名师指点07高考数列1【考点回放篇】●考点串讲3．1数列的概念1．数列：按一定次序排列的一列数叫做数列。（1）数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中an是数列的第n项。（2）可视数列为特殊函数，它的定义域是正自然数集的子集（必须连续），因此研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）。应注意用函数的观点分析问题。2．通项公式如果数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达

2、，那么这个公式就叫做数列的通项公式，可以记为an=f（n）。并非每一个数列都可以写出通项公式，有些数列的通项公式也并非是唯一的。3．数列的前n项和数列{an}的前n项之和，叫做数列的前n项和，常用Sn表示。Sn与通项an的基本关系是：an=Sn=a1+a2+…+an。4．数列的分类（1）按项分类有穷数列：项数有限；无穷数列：项数无限。（2）按an的增减性分类递增数列：对于任何n∈N*，均有an+1＞an；递减数列：对于任何n∈N*，均有an+1＜an；摆动数列：例如：－1，1，－1，1，…；常数数列：例如：6

3、，6，6，6，…；有界数列：存在正数M使

4、an

5、≤M，n∈N*；无界数列：对于任何正数M，总有项an使得

6、an

7、＞M。5．递推是认识数列的重要手段，递推公式是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系写出数列。3．2等差数列1．等差数列的概念若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列。2．通项公式：an=a1+（n－1）d，推广：an=am+（n－m）d。变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率。3．等差中项：若a、b、c成等

8、差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件。4．前n项和：Sn==na1+d=n·an－（n－1）nd。变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）。3．3等比数列1．定义数列{an}从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列。常数叫公比。2．通项公式：an=a1qn－1，推广形式：an=amqn－m。变式：q=（n、m∈N*）。3．前n项和Sn=注：q≠1时，=。4．等比中项：若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且b=±

9、。5．三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq3为好。6．证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；（2）用中项性质：只需an+12=an·an+2或=。3．4等差数列与等比数列的综合问题（一）等差、等比数列的性质1．等差数列{an}的性质（1）am=ak+（m－k）d，d=。（2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b为常数）是公差为λd的等差数列；若{bn}也是公差为d的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也

10、是等差数列且公差为λ1d+λ2d。（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md。（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立。（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等差数列。（6）若数列{an}的项数为2n（n∈N*），则S偶－S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数

11、列{an}的项数为2n－1（n∈N*），则S奇－S偶=an，=，S2n－1=（2n－1）an（an为中间项）。2．等比数列{an}的性质（1）am=ak·qm－k。（2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为q的等比数列；若{bn}也是公比为q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为q·q2。（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm。（4）若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am

12、·an=ak·al，反之不成立。（5）设A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则M、N、P也成等比数列。（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为a－d，a，a