南大复变函数与积分变换课件(PPT版)9.2 拉普拉斯变换的性质.ppt

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1、§9.2Laplace变换的性质一、线性性质与相似性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质四、积分性质五、周期函数的像函数六、卷积与卷积定理对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。所涉及到的函数的Laplace在下面给出的基本性质中，且变换均假定存在，它们的增长指数均假定为c。§9.2Laplace变换的性质证明(略)性质一、线性性质与相似性质1.线性性质P216P216解解令证明性质一、线性性质与相似性质2.相似性质(尺度性质)P217二、延迟性质与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数有设当t<0时性质令证明P222P222二、延迟性质

2、与位移性质1.延迟性质则对任一非负实数有设当t<0时性质可见，在利用本性质求逆变换时应为：因此，本性质也可以直接表述为：注意在延迟性质中专门强调了当t<0时这一约定。已知解方法一方法二两种方法为什么会得到不同的结果？根据延迟性质有方法二先平移再充零P222例9.12方法一先充零再平移根据延迟性质有设求例解由于P223例9.13修改证明(略)例如性质2.位移性质P223二、延迟性质与位移性质三、微分性质性质证明由因此当时，有有即得1.导数的象函数▲P217P217三、微分性质1.导数的象函数性质其中，应理解为一般地，有▲Laplace变换的这一性质非常重要，可用来求解微分方程(

3、组)的初值问题。§9.4将专门介绍）（解利用导数的象函数性质来求解本题以及有由故有P218例9.7三、微分性质2.象函数的导数性质一般地，有由有证明同理可得P218根据象函数的导数性质有解已知P219例9.8解根据线性性质以及象函数的导数性质有已知P219例9.9根据位移性质有解已知再由象函数的导数性质有四、积分性质1.积分的象函数性质证明令由微分性质有则且即得P219P219四、积分性质1.积分的象函数性质一般地，有再由积分性质得根据微分性质有解已知一般地，有四、积分性质2.象函数的积分性质证明(略)P220根据象函数的积分性质有已知解即在上式中，如果令s=0，则有启示在L

4、aplace变换及其性质中，如果取s为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。利用拉氏变换计算广义积分P220例9.10部分基本性质汇总线性性质相似性质延迟性质微分性质积分性质部分基本性质汇总位移性质证明记为其中，令即得性质五、周期函数的像函数P223函数的周期为解故有P224例9.14六、卷积与卷积定理1.卷积当时，如果函数满足：按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指则有显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律以及分配律等性质。P224解P224例9.15六、卷积与卷积定理2.卷积定理定理证明左边=D(跳过?)定理六、卷积与卷积定理2.卷积定理证明左边=令记

5、为其中左边==右边。故有解由于P225例9.16轻松一下……利用Laplace变换计算广义积分附：在Laplace变换及其性质中，如果取s为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。注意在使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下s的取值范围以及广义积分的存在性。P221注由解得利用Laplace变换计算广义积分附：P221例9.11(1)已知解由积分性质有即得(返回)利用Laplace变换计算广义积分附：P221例9.11(2)