南大复变函数与积分变换课件(ppt版)8.1傅立叶变换的概念

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1、第八章Fourier变换§8.2单位冲激函数§8.1Fourier变换的概念§8.3Fourier变换的性质Fourier变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等)，又具有非常特殊的物理意义。的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier级数的有关内容，因此本节将先简单地回顾一下Fourier级数展开。§8.1Fourier变换的概念因此，Fourier变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier变换是在周期函数的Fourier级数的基础上发§8.1Fouri

2、er变换的概念一、周期函数的Fourier级数二、非周期函数的Fourier变换一、周期函数的Fourier级数1.简谐波的基本概念简谐波为基本周期；为频率。A称为振幅，其中，称为角频率，称为相位，(称为零相位)。(单位：秒)(单位：赫兹Hz)补一、周期函数的Fourier级数2.正交函数系函数系补2.正交函数系特点由组合叠加可以生成周期为T的复杂波。(1)周期性(2)正交性一、周期函数的Fourier级数一、周期函数的Fourier级数2.正交函数系问题对于任何一个周期为T的(复杂)函数，?能否：(Fourier级数的历史回顾)区间上满足如下条件(称

3、为Dirichlet条件)：则在的连续点处有(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点.(Dirichlet定理)设是以T为周期的实值函数，且在定理3.Fourier级数的三角形式一、周期函数的Fourier级数P183定理8.1在的间断处，上式左端为称之为基频。(Dirichlet定理)定理3.Fourier级数的三角形式其中,(A)称(A)式为Fourier级数的三角形式。定义一、周期函数的Fourier级数4.Fourier级数的物理含义令则(A)式变为O(A)改写一、周期函数的Fourier级数P184这些简谐波的(角)频率分别

4、为一个基频的倍数。频率成份，其频率是以基频为间隔离散取值的。”这是周期信号的一个非常重要的特点。4.Fourier级数的物理含义认为“一个周期为T的周期信号并不包含所有的意义周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，表明一、周期函数的Fourier级数相位反映了在信号中频率为的简谐波这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。4.Fourier级数的物理含义反映了频率为的简谐波在信号中振幅所占有的份额；沿时间轴移动的大小。一、周期函数的Fourier级数5.Fourier级数的指数形式代入(A)式并整理得根据Euler公式可得推导(A)已知一、周期函

5、数的Fourier级数P1835.Fourier级数的指数形式推导则有令其中,(B)称(B)式为Fourier级数的指数形式。定义一、周期函数的Fourier级数(1)分解式是惟一的。注意(2)计算系数时,其中的积分可以在任意一个长度为T的区间上进行。(3)采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。5.Fourier级数的指数形式一、周期函数的Fourier级数6.离散频谱与频谱图得O分析由即的模与辐角正好是振幅和相位。称为频谱，记为称为振幅谱，称为相位谱；定义一、周期函数的Fourier级数P1856.离散频谱与频谱图将振幅、

6、相位与频率的关系画成图形。频谱图OO一、周期函数的Fourier级数(1)当n=0时，解基频O解(2)当时,O(3)的Fourier级数为解(4)振幅谱为相位谱为O(5)频谱图如下图所示。解1-22-1O……1-22-1O……O借助Fourier级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。但是，Fourier级数要求被展开的函数必须是周期函数，而在工程实际问题中，大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函

7、数的傅立叶变换(1)非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。1.简单分析当T越来越大时，取值间隔越来越小；当T趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以为间隔离散取值的。即频谱将连续取值。(2)当时，频率特性发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析Fourier级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析(3)当时，级数求和发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析记为节点将间隔记为得并由分析(C)P187分析则按照积分定义，在一定条件下，(C)式可写为记(3)当时，级数求和发

8、生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析(2)绝对可积，即上的任一有限区间内满足D