复变函数与积分变换 傅立叶变换的性质.ppt

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1、§8.3傅立叶变换的性质三、利用Matlab实现Fourier变换一、基本性质二、卷积与卷积定理*一、基本性质且所涉及到的函数的Fourier在下面给出的基本性质中，变换均存在，1.线性性质设a,b为常数，则性质对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等)的次序交换问题，均不另作说明。直接进入基本性质汇总？证明(略)一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质(时移性质)(频移性质)(2)同理，可得到频移性质。(1)(2)证明(1)令时移性质表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份频移性质则被用来进行频谱搬移，这一技术在通信系统中的大小不发生改变，但相位发生变化；得到了广泛应用

2、。一、基本性质2.位移性质设为实常数，则性质(时移性质)(频移性质)(1)(2)令证明(1)当时，(2)当时，同理可得性质一、基本性质3.相似性质相似性质表明，事实上，在对矩形脉冲函数的频谱分析中(§8.1)已知，脉冲越窄，则其频谱(主瓣)越宽;脉冲越宽，则其频谱(主瓣)越窄。相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。若信号被压缩则其频谱被扩展；若信号被扩展则其频谱被压缩。性质一、基本性质3.相似性质相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩脉冲宽度和在电信通讯中，为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；频带宽度是不可能的。性质

3、一、基本性质3.相似性质一、基本性质4.微分性质若则性质证明由有一般地，若则记忆由一、基本性质4.微分性质若则性质记忆由上式可用来求的Fourier变换．一、基本性质4.微分性质同理，可得到像函数的导数公式证明令则由微分性质有又有即得性质一、基本性质5.积分性质一、基本性质6.帕塞瓦尔(Parseval)等式证明由有右边=左边.一、基本性质(汇总)线性性质相似性质位移性质(时移性质)(频移性质)一、基本性质(汇总)Parseval等式积分性质微分性质(直接进入Parseval等式举例?)例设求解已知根据线性性质和频移性质有又解根据相似性质有P198例8.11修改设求例根据微分性质有解

4、令则又已知解设矩形脉冲函数由于被积函数为偶函数，已知的频谱为由Parserval等式有故有P200例8.12即二、卷积与卷积定理广义积分对任何实数t都收敛，函数为与的卷积，记为1.卷积的概念与运算性质设函数与在区间上有定义，定义如果它在上定义了一个自变量为t的函数，则称此P200定义8.2二、卷积与卷积定理1.卷积的概念与运算性质性质(1)交换律(2)结合律(3)分配律P201解(1)当时，t(2)当时，P201例8.13将函数反褶并平移到t，得到从上面的例子可以看出(2)卷积由反褶、平移、相乘、积分四个部分组成。因此，卷积又称为褶积或卷乘。(1)在计算一些分段函数的卷积时，如何确定

5、积分限是解题另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个函数的关键。再与函数相乘后求积分，得到卷积的卷积次序，还可以使积分限的确定更直观一些。如果采用图形方式则比较容易确定积分限。即首先P203(1)当时，解由卷积的定义及性质有221t221P202例8.14修改221t(2)当时，解由卷积的定义及性质有221221t(3)当时，解由卷积的定义及性质有221综合得解由卷积的定义及性质有221证明同理可证(B)式。二、卷积与卷积定理2.卷积定理P203定理8.4二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义*设有某信号为问题试将该信号的低频成份完全保留，而高频成份完全去掉，即对其进行理想低通

6、滤波。(1)如何从收到的实际信号中分离出“想要”的某个频带背景内的信号。(2)如何从收到的实际信号中消除在传输过程中加入的高频干扰噪声。(跳过?)二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*(1)求出信号频谱函数显然，新的信号中完全保留了原信号中频率低于a的频率成份，而去掉了频率高于a的频率成份。方法一在频率域中实现(2)令(理想低通滤波器)(3)将与相乘，得到(4)对作Fourier逆变换，得到二、卷积与卷积定理3.卷积的物理意义方法*由卷积定理，信号与方法一中信号是一样的，方法二在时间域中实现(1)令(理想低通滤波器)(2)求(理想低通滤波因子)(3)计算卷积与分别又称为频率响应函

7、数与冲激响应函数。注这正是卷积的意义和价值。解方法一根据卷积定理有方法二已知的Fourier变换为令注(1)一般地，有(2)本例的结论被用来获取或者检测系统的冲激响应函数。其频谱分别为解函数和均为抽样信号，令则根据卷积定理有P203例8.15令则解方法一利用卷积定理求解P204例8.16(跳过?)解令则方法二利用频移性质求解又根据频移性质有在数学软件Matlab的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行Fourier变换与Fourier逆变换。(1)F=fo