南大复变函数与积分变换课件(PPT版)21解析函数的概念

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1、第二章解析函数§2.2解析函数和调和函数的关系§2.1解析函数的概念§2.3初等函数§2.1解析函数的概念一、导数与微分二、解析函数三、柯西-黎曼方程一、导数与微分1.复变函数的导数则称在处可导，设函数在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，如果存在有限的极限值A，且称A为在处的导数，记作如果函数在区域D内的每一点都可导，在D内可导，此时即得的导(函)数则称P30定义2.1一、导数与微分2.复变函数的微分则称在处可微，设函数在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，若在区域D内处处可微，则称在D内可微。如果存在A，

2、使得记作为微分，特别地，有(考虑函数即可)导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。P30补一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微如果可导可微；如果可微可导。由此可得即一、导数与微分3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微(2)可导连续如果可导可微连续。由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。对二元实函数：偏导数存在可微偏导数连续。解(1)由(n为正整数)；同理可得得(C为复常数)。解(2)由得一、导数与微分4.求导法则(1)四则运算法则P32一、导数与微分4.求导法则(1)四则运算法则(

3、2)复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则其中，与是两个互为反函数的单值函数，且二、解析函数则称在点解析；(1)如果函数在点以及点的邻域内处处可导，定义(2)如果函数在区域D内的每一点解析，则称或者称是D内的解析函数。在区域D内解析，奇点则称为的奇点。如果函数在点不解析，(2)区域可导区域解析。关系(1)点可导点解析；P31定义2.2(解析函数的由来)二、解析函数性质(1)在区域D内解析的两个函数与的和、差、积、商(除去分母为零的点)在D内解析。(2)如果函数在z平面上的区域D内解析，则复合函数在D内解析。函数在平面上的区域G

4、内解析，且对D内的每一点z，函数的值都属于G，P32由函数的解析性以及又方程的根是设解当时，解析，因此在全平面除去点的区域内，解析。求导法则可知：极限不存在(见§1.5)讨论函数的解析性。例当时，即当时，不存在。因此，仅在点可导，处处不解析。解由有讨论函数的解析性。例解当时，当时，因此，处处不可导，处处不解析。对函数如何判别其解析性？问题三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程：和在点处可微，(简称方程)函数在点处可导定理的充要条件是：实二元函数可微的含义：附P33定理2.1三、

5、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件证明必要性“”若在处可导，且和在点处可微，故记则必可微，即由有三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件证明充分性“”即在处可微(可导)，若和在点处可微，则得又由和满足方程：且(跳过?)求导公式三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件若在处可导，则P34(关于C-R条件)三、柯西-黎曼方程2.区域解析的充要条件和在区域D内可微，且函数在区域D内解析的定理充要条件是：满足C-R方程。推论在区域D内存在且连续，并满足C-R方程，在区域D内解析。和的四个偏导数若函数则函数P34定理2.2P34推论可知不满足

6、C-R方程，解由有所以在复平面内处处不可导，处处不解析。讨论函数的可导性与解析性。例有由C-R方程，所以仅在点可导，处处不解析。解由讨论函数的可导性与解析性。例讨论函数的可导性与解析性。例由C-R方程，解由有处处不解析。所以仅在直线上可导，xy讨论函数的可导性与解析性。例解由有四个偏导数连续，且满足C-R方程，故在全平面上处处可导，处处解析，且注函数记为本例结果表明：P35例2.4部分解由有由C-R方程可得求解得即得(常数)。(1)由解析，证由解析，为常数，证(常数)；(2)由解析，由在D内为常数，(常数)，两边分别对x,y求偏

7、导得：①若②若方程组(A)只有零解，即得(常数)。为常数，(A)解令记为由和解析，得也解析，由C-R方程有即得(常数)。意义解析函数的实部一旦给定，则虚部只能相差一个常数。(虚部)(实部)例设函数解析，证明：和均在某区域D内其中c为常数。▲下节还将看到对于解析函数的实部(或虚部)本身也有要求。轻松一下……附：知识广角——解析函数的由来解析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。在康道尔西使用该名称20年之后，拉格朗日(Lagrange)也使用了解析这个术语，他在《解

8、析函数论》中将能展开成级数的函数说成是解析函数。现在所使用的解析函数的概念，则基本上是在魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的著作中形成的。(返回)1755年，欧拉(Euler)也提到了上述关系式。附：知识广角——关于C-R条件1746年，达朗贝尔(D’Ale