210 导数的应用.ppt

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1、第10讲导数的应用1．函数的单调性若函数f(x)在某区间内可导，则f′(x)>0⇒f(x)在该区间上_________；f′(x)<0⇒f(x)在该区间上____________．反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有_______恒成立；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有________恒成立．2．函数的极值(1)函数极值的定义单调递减单调递增f′(x)≥0f′(x)≤0知识梳理①已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作___________

2、___，并把x0称为函数f(x)的一个__________；②如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作____________，并把x0称为函数f(x)的一个____________；③极大值与极小值统称________，极大值点与极小值点统称为________．(2)求函数极值的方法极大值y极大值＝f(x0)极大值点y最小值＝f(x0)极小值极小值点极值极值点①第1步：求导数f′(x)；②第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；③第3步：当f(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧______，右侧________，那么f

3、(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．3．函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象________________________，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______；f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0是一条连续不断的曲线极值②将函数y＝f(x)的各极值与_________________________比较，其中最大的一个是最大

4、值，最小的一个是最小值．4．f(x)＞m恒成立等价于________；f(x)＜m恒成立等价于________．5．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，若函数有三个零点，则________________；函数有两个零点，则________________；函数有且仅有一个零点，则___________________．端点处的函数值f(a)、f(b)mf(x)maxf(x1)>0且f(x2)<0f(x1)＝0或f(x2)＝0f(x1)f(x2)>0探究点1利用导数研究函数的单调性如果函数y＝f(x

5、)的图象如图14－1，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是()变式练习：探究点2利用导数研究函数的极值与最值例2已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．例3函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[2010·宝鸡模拟]已知函数f(x)＝axlnx在点(e，f(e))处的切线与直线y＝2x平行(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2－tx－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[n，n＋2](n＞0)上的最小值；(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，

6、求实数t的取值范围．变式题探究点3导数在方程与不等式中的应用例4[2011·吉安模拟]已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋a(a为常数)，若直线l与g＝f(x)和y＝g(x)的图象都相切，且l与y＝f(x)的图象相切于定点P(1，f(1))．(1)求直线l的方程及a的值；(2)当k∈R时，讨论关于x的方程f(x2＋1)－g(x)＝k的实数解的个数．探究点4生活中的优化问题1．函数的单调性、极值、最值都是定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的性质时，首先要研究函数的定义域，再利用导数f′(x)解决．规律总结2．通过判断函数定义域被导数为零的点或不可导点所划分的各区

7、间内导数f′(x)的符号，来判断函数f(x)在该区间上的单调性；f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在区间(a，b)上成立只是f(x)在这个区间上是增函数(减函数)的充分条件，而不是必要条件，因此，由函数单调性求其所含参数的取值问题时，对于导数值为零的点需要单独验证，以免出错；当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，由于集合的并集运算“∪”其运算结果为一个整体，因此这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.4．一般地，要证明不等式f(x)>g(x)在区间Ⅰ上恒成立，则可构造函数h(x)＝f(x)－g