《导数的应用》PPT课件

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1、第四章导数的应用§4.1中值定理§4.2罗必达法则§4.3函数的单调性§4.4函数的极值与最值§4.5曲线的凹性与拐点§4.6函数作图的基本步骤与方法§4.7导数在经济中的应用1第四章导数的应用导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.§4.1中值定理定理1(罗尔定理)设函数ƒ(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)ƒ(a)=

2、ƒ(b);罗尔(Rolle)定理2则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义:函数ƒ(x)在[a,b]上的图形是连续曲线弧AB,如果除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,且在闭区间[a,b]的两个端点a与b处的纵坐标相同,即ƒ(a)=ƒ(b);此时弦3显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得,由此启发了我们的证明思路.AB平行于x轴;则在弧AB上至少能找到一点C((ξ)),使曲线在点C处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为b

3、oxABy=f(x)ay证因ƒ(x)在闭区间[a,b]上连续,故由第二章定理16知:4ƒ(x)在[a,b]上必有最大值M和最小值m.下面分两种情形讨论:(1)若M=m,则ƒ(x)在[a,b]上恒为常数.从而oyxy=M5故在(a,b)内的每一点都可取作ξ.定理显然成立.(2)若,而ƒ(a)=ƒ(b)从而在区间(a,b)内至少存在一点ξ.使得ƒ(ξ)=M则数M与m中至少有一个不等于端点的数值,不妨设下面证明因ƒ(ξ)=M,则不论Δx>0或Δx<0,恒有当Δx>0时,有当Δx<0时,有6而ƒ(x)在

4、(a,b)内可导,则故必有则对式(1)和式(2)取极限有7注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可.否则结论不一定成立.(一般地说结论正确就需证明;否则,只须举反例即可)用下列各图形分别说明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)°°ξξƒ(x)在[a,b]内有间断点ξƒ(x)在(a,b)内有不可导点ξ(尖点)注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如8此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在和ξ=π,使oxy=f(x)y°•π9例1.验证

5、函数在区间[–1,2]上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的ξ值.注3.罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在一个ξ,而不能肯定ξ的个数,也没有指出实际计算ξ的值的方法.但对某些简单情形,可从方程中解出ξ.10解因ƒ(x)是一初等函数,其定义域为则ƒ(x)在[–1,2]上连续,在(–1,2)内存在,即ƒ(x)在(–1,2）可导.则满足题意的点为而ƒ(–1)=ƒ(2)=0.即ƒ(x)在[–1,2]上满足罗尔定理的条件.由11例2.不求函数ƒ(x)=(x–1)(x–2)(x–3)x的导数,说明

6、方程有几个实根?并指出它们所在区间.12例3.设ƒ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ƒ(a)=ƒ(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有证则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得13二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理2拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数ƒ(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)

7、在开区间(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得oxyy=f(x)aAbBC或也称微分中值定理.几何意义:如果在连续曲线弧AB上,除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,又因弦AB的斜率为则在弧AB上至少D14oxyy=f(x)aAbB既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方法来构造辅助函数.要证故只须令F(x)=[ƒ(b)–ƒ(a)](x–a)–[ƒ(x)–ƒ(a)](b–a)C能找到一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.从而只需验证F(x)满足罗尔定理的条件

8、即可.易验证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.注:在[a,b]内的任意闭区间上,拉格朗日中值定理均成立.D15特别地,若x与x+Δx为区间(a,b)内的任意两点,则有由于当Δx为有限时,上式是Δy的准确表达式.因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分仅是Δy的近似表达式,因而有限增量公式在理论上十分有用.16例4.验证函数ƒ(x)=lnx在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.若满足求出ξ.解因ƒ(x)在[1,e]上连续,在(1,e)内可导.即ƒ(x)在[1,e]上满足拉格朗日中值定理.而则由