《导数的应用》PPT课件

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1、第三节　导数的应用（2）基础梳理1.函数的最大值与最小值(1)概念：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)[或f(x)≥f(x0)]，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值(或最小值)．(2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值可以分为两步：第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最

2、大(小)值的强有力的工具．3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用．基础达标1.已知f(x)=x2f′(2)-3x，则f′(3)=________.2.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．3.(选修2-2P32第3(1)题改编)函数f(x)=2x2-x4(x∈[-2,2])的值域为________．4.设函数f(x)=x3--2x+5，若对任意x∈[-1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．5.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同

3、的小正方形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为________．答案：1.3解析：f′(x)=2f′(2)x-3，将x=2代入得f′(2)=4f′(2)-3，解得f′(2)=1，故f′(x)=2x-3，将x=3代入得f′(3)=2´3-3=3.2.(-2,2)解析：f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0解得x=1或x=-1.结合图象分析可解得-2＜a＜2.3.[-8,1]解析：f′(x)=4x-4x3=4x(1+x)(1-x)＞0，解得x＜-1或0＜x＜1，即[-2，-1)、(0,1)为函数的增区间，(-1,0

4、)、(1,2]为函数的减区间，而f(-2)=f(2)=-8，f(0)=0，f(-1)=f(1)=1，所以函数的最小值为-8，函数的最大值为1.4.解析：由f′(x)=3x2-x-2=0，得x1=1，x2=-.易知当x∈和x∈[1,2]时，f′(x)≥0，当x∈时，f′(x)＜0，∴x=1是极小值点，x=-是极大值点，f(1)=，又f(-1)=，f(2)=7，∴f(x)min=f(1)=，∴m＜.5.18解析：设正方形边长为x，则V=(8-2x)×(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)，V′=4(3x2-13x+10)，由V′=0得x=1，或x=

5、(舍去)．当0＜x＜1时，V′＞0，当1＜x＜时，V′＜0，所以当x=1时，V有最大值，即当x=1时，容积V取最大值为18.经典例题题型一　函数的最值与导数【例1】(2010·陕西改编)已知函数f(x)=，g(x)=alnx，a∈R.设函数h(x)=f(x)-g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值F(a)的解析式．解：由条件知h(x)=-alnx(x＞0)，所以h′(x)=-=.①当a＞0时，令h′(x)=0，解得x=4a2，所以当0＜x＜4a2时，h′(x)＜0，h(x)在(0,4a2)上递减，当x＞4a2时，h′(x)＞0，所以x=4a2是h

6、(x)在(0，+∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．所以F(a)=h(4a2)=2a(1-ln2a)．②当a≤0时，h′(x)=＞0，h(x)在(0，+∞)递增，无最小值．故h(x)的最小值F(a)=2a(1-ln2a)(a＞0)．变式1-1已知a为实数，函数f(x)=(x2+1)(x+a)．若f′(-1)=0，求函数y=f(x)在上的最大值和最小值.解：f′(x)=3x2+2ax+1.∵f′(-1)=0，∴3-2a+1=0，即a=2，∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+1)．由f′(x)＞0，得x＜-1或x＞-；由f′(

7、x)＜0，得-1＜x＜-.因此，函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为，∴f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2，在x=-处取得极小值f=.又∵f=，f(1)=6，且∴f(x)在上的最大值为f(1)=6，最小值为f=.题型二　导数的实际应用【例2】一种变压器的铁芯的截面为正十字形，如图，为保证所需的磁通量，要求十字型具有4cm2的面积，问应如何设计正十字形的宽xcm及长ycm，才能使其外接圆的周长最短，这样使绕在铁芯上的漆包线最省？解：设外接圆的半径为Rcm，则.由x2+4*x=4，得y=.要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取

8、最小值．设f(x)=R2==x2++(0＜x＜2R)，则f′(x)=x-.令f′(x)=x-=