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1、2.3双曲线的简单几何性质---直线与双曲线的位置关系椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交直线与双曲线位置关系：XYO初步感知分类:相离；相切；相交。根据交点个数判定XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点图象法:把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离代数法:判断直线与双曲线位置关系的操作流程图(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，
2、L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ<0直线与双曲线相离判断直线与双曲线位置关系的具体步骤代数法:②相切一点:△=0③相离:△＜0①相交两点:△＞0同侧：＞0异侧:＜0一点:直线与渐近线平行直线与双曲线的位置关系典型例题:特别注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5
3、)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±；(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；(2)＜k＜；典型例题:1.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________练习:2.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是练习:BA例2过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A、B两点，求
4、AB
5、.F1oF2xy典型例题:双曲线中的弦长问题例3.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。典型例题:解法一：（1）当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线截得的弦的中
6、点不是P点。（2）当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k。则直线AB的方程为y-8=k（x-1）双曲线的中点弦问题典型例题:典型例题:例4设两动点A、B分别在双曲线的两条渐近线上滑动，且
7、AB
8、＝2，求线段AB的中点M的轨迹方程.oxyBAM典型例题:双曲线的中点弦问题分析：只需证明线段AB、CD的中点重合即可。证明:(1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b典型例题:双曲线的中点弦问题证明:(1)若L有斜率，设L的方程为:y=kx+b典型例题:练习题:典型例题:双曲线中的对称问题①典型例题:②典型例题:已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两
9、点.是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称？若存在，求a;若不存在，说明理由.练习题:解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，例7、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。典型例题:双曲线中的垂直问题解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它
10、有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.典型例题:双曲线中的范围问题典型例题:典型例题:例9过双曲线的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.oFxyle∈[2，＋∞）典型例题:练习:例9、由双曲线上的一点P与左、右两焦点构成，求的内切圆与边的切点坐标。说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为焦点三角形，其中和为三角形的三边。解
11、决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。典型例题:双曲线中的切点三角形练习、设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。（2）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值。练习:1.直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；2.中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运
