直线与双曲线位置关系

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1、直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b，双曲线－＝1(a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2－4AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1(x1,y1)，P2(

2、x2,y2)，且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2－4ac。弦长公式：（k为直线斜率）例题选讲：例1：直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围；解　(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是－2

3、线段。试证明你的结论。..例3：已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得∴k2≠且k2<1.①设A(x1，y

4、1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，∴>2，即>0，解得

5、（3）∴的面积为6．知识点2：抛物线及其标准方程1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈R对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标准线方程x＝－x＝离心率e＝1题型1：抛物线的定义灵活应用例1：(1)(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，

6、AF

7、＋

8、BF

9、＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　

10、)A.　　　　　　　　　　　B．1C.D.(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C：y＝2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(　　)..A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)[自主解答]　(1)如图，由抛物线的定义知，

11、AM

12、＋

13、BN

14、＝

15、AF

16、＋

17、BF

18、＝3，

19、CD

20、＝，所以中点C的横坐标为－＝.(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x＝1与抛物线的交点，故所求P点的坐

21、标是(1,2)．[答案]　(1)C　(2)B练习1：(2012·安徽高考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若

22、AF

23、＝3，则

24、BF

25、＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又∵

26、AF

27、＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，∴A(2,2)，∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．又解得或由图知，点B的坐标为，∴

28、BF

29、＝－(－1)＝.答案：题型2：抛物线的标准方程及几何性质例2：(1)(2012·山东高考)已知双曲线C1

30、：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离