（通用版）2020版高考数学大二轮复习能力升级练（十五）导数及其综合应用（2）文.docx

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1、能力升级练(十五)　导数及其综合应用(2)1.(2019湖北荆州质检)已知函数f(x)=ax-lnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a∈-∞,-1e2,求证:f(x)≥2ax-xeax-1.(1)解由题意得f'(x)=a-1x=ax-1x(x>0),①当a≤0时,则f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a>0时,则当x∈1a,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈0,1a时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(

2、x)在0,1a上单调递减,在1a,+∞上单调递增.(2)证明令g(x)=f(x)-2ax+xeax-1=xeax-1-ax-lnx,则g'(x)=eax-1+axeax-1-a-1x=(ax+1)eax-1-1x=(ax+1)(xeax-1-1)x(x>0),设r(x)=xeax-1-1(x>0),则r'(x)=(1+ax)eax-1(x>0),∵eax-1>0,∴当x∈0,-1a时,r'(x)>0,r(x)单调递增;当x∈-1a,+∞时,r'(x)<0,r(x)单调递减.∴r(x)max=r-1a=-1ae2+1≤0a≤-1e2

3、,∴当0-1a时,g'(x)>0,∴g(x)在0,-1a上单调递减,在-1a,+∞上单调递增,∴g(x)min=g-1a.设t=-1a∈(0,e2],则g-1a=h(t)=te2-lnt+1(0

4、.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积,设AB=2x,BC=y.(1)写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围;(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.解(1)易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为πx.所以4=2x+2y+πx,得y=4-(2+π)x2.依题意知0

5、π+4,所以当00,T为关于x的增函数;当169π+12

6、ln2-12=ln4-12>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f'(x0)=0.又当xx0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因此,f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)0,所以f(x)=0在区间(x0,+∞)内存在唯一根x=α.由α>x0>1得1α<1

7、数f(x)=12ax2-lnx,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为1,求a的值.解函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=ax-1x=ax2-1x.(1)①当a=0时,f'(x)=-1x<0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<0时,f'(x)<0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当a>0时,令f'(x)=0,又因为x>0,解得x=1a.(ⅰ)当x∈0,1a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在0,1a上单调递减.(ⅱ)当x∈1a,+∞时,

8、f'(x)>0,所以函数f(x)在1a,+∞上单调递增.综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调减区间是(0,+∞),当a>0时,函数f(x)的单调减区间是0,1a,单调增区间为1a,+∞.(2)①当a≤0时,由(1)可知,f(x)在[1,e]上单