（通用版）2020版高考数学大二轮复习能力升级练（十六）导数及其综合应用（2）理.docx

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1、能力升级练(十六)　导数及其综合应用(2)1.(2019湖北荆州质检)已知函数f(x)=ax-lnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a∈-∞,-1e2,求证:f(x)≥2ax-xeax-1.(1)解由题意得f'(x)=a-1x=ax-1x(x>0),①当a≤0时,则f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a>0时,则当x∈1a,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈0,1a时,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在0,1

2、a上单调递减,在1a,+∞上单调递增.(2)证明令g(x)=f(x)-2ax+xeax-1=xeax-1-ax-lnx,则g'(x)=eax-1+axeax-1-a-1x=(ax+1)eax-1-1x=(ax+1)(xeax-1-1)x(x>0),设r(x)=xeax-1-1(x>0),则r'(x)=(1+ax)eax-1(x>0),∵eax-1>0,∴当x∈0,-1a时,r'(x)>0,r(x)单调递增;当x∈-1a,+∞时,r'(x)<0,r(x)单调递减.∴r(x)max=r-1a=-1ae2+1≤0a≤-1e2,∴当0

3、g'(x)<0,当x>-1a时,g'(x)>0,∴g(x)在0,-1a上单调递减,在-1a,+∞上单调递增,∴g(x)min=g-1a.设t=-1a∈(0,e2],则g-1a=h(t)=te2-lnt+1(0

4、边AB的乘积,设AB=2x,BC=y.(1)写出y关于x的函数表达式,并指出x的取值范围;(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.解(1)易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为πx.所以4=2x+2y+πx,得y=4-(2+π)x2.依题意知00

5、,T为关于x的增函数;当169π+12

6、f(x)-(x+a)

7、(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.(1)解由f(x)=14x3-x2+x得f'(x)=34x2-2x+1.令f'(x)=1,即34x2-2x+1=1,得x

8、=0或x=83.又f(0)=0,f83=827,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-827=x-83,即y=x与y=x-6427.(2)证明令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].由g(x)=14x3-x2得g'(x)=34x2-2x.令g'(x)=0得x=0或x=83.g'(x),g(x)的情况如下:x-2(-2,0)00,838383,44g'(x)+-+g(x)-6↗0↘-6427↗0所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知,当a<-3时,M(a)≥F

9、(0)=

10、g(0)-a

11、=-a>3;当a>-3时,M(a)≥F(-2)=

12、g(-2)-a

13、=6+a>3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.4.已知函数f(x)=12ax2-lnx,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为1,求a的值.解函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=ax-1x=ax2-1x.(1)①当a=0时,f'(x)=-1x<0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<0时,f'(x)<0恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

14、③当a>0时,令f'(x)=0,又因为x>0,解得x=1a.(ⅰ)当x∈0,1a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在0,1a上单调递减.(ⅱ)当x∈1a,+∞时,