第5讲 离散方程的求解.ppt

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1、第五讲离散方程的求解屠基元教授清华大学墨尔本皇家理工大学2控制方程向代数方程的转化I均匀发热无限大平板的稳定导热问题。xyzABTA=100oCTB=400oCLq=500W/m3控制体体积xxxPEWew1234TATBx/2x/2大平板区域的有限体积离散3控制方程向代数方程的转化II对于恒定的传热系数和热流量，方程变为：引入线性近似梯度：将上述方程进行重新整理，得到代数方程：4控制方程向代数方程的转化III对于节点2和节点3，系数为：对于节点1，系数为：对于节点4，系数为：控制体体积xxxPEWew1234TATBx/2x/25控制方程向代数方程的转化

2、IV控制体每一节点的系数值代数方程的矩阵形式：代入6二维离散化I一维网格二维网格7二维离散化II因为代数方程式以上方程适用于内部点:对于节点或点8矩阵求解I对于线性代数：反演方法效率不高高斯消元法并非最好的方法对于方程个数较多的方程组，可以运用迭代法求解9矩阵求解II每个节点未知变量的一般形式可以写成：重新排列上述方程，用雅可比方法迭代：k+1为新迭代级对于高斯-赛德尔迭代方法k为上一步迭代级收敛性判据10迭代法–雅可比方法利用雅可比迭代方法求解方程组的演示11迭代方法–高斯-赛德尔方法利用高斯-赛德尔迭代方法求解方程组示例12二维热传导–高斯-赛德尔方法利用高斯-赛德尔迭代

3、方法求解方程组差分方程的求解将前面得到的差分方程改写为，或者简单的写成矩阵的形式，其中，差分方程的求解差分方程的求解与方程（1）对比，知，由方程（1）系数阵[A]的特殊性，通常称之为三对角方程（Tri-diagonalequation)三对角方程可以采用非常高效的追赶法（TDMA法）求解基于矩阵分解属于必须掌握的内容差分方程的求解TDMA法Fortran源程序计算机实现：算例求解下面的一维稳态导热问题：计算机实现：算例求解区域的离散化：内节点法：先划分控制容积，在确定节点均匀网格：x=x将整个求解区域划分为（N-2）个控制容积，N个节点（包括2个边界节点）内部节点的差分方

4、程计算机实现：算例其中，计算机实现：算例注意：采用内节点法划分网格时，近边界节点与其它内部节点不尽相同，所以必须单独考虑。123NN-1(x)w(x)e(x)e当i＝2时(x)w=½xw=W=1所以，当i＝2时计算机实现：算例所以，当i＝2时，计算机实现：算例当i＝3，4，…，N-2时，计算机实现：算例同样，当i＝N-1时(x)e=½xe=E=N所以，当i＝N-1时123NN-1(x)w(x)e(x)e计算机实现：算例所以，当i＝N-1时，计算机实现：算例最后得到由（N－2）个方程构成的方程组为求解上面的方程，即可得到（N－2）个未知数，即，T

5、2,T3,T4,…….,TN-1。计算机实现：算例注意：上面的方程组是非线性的，必须用迭代法求解求解方法：假定一个温度分布：Ti，i＝1，2，3，。。。，N计算i，i＝1，2，3，。。。，N计算a,b,c,d用TDMA法求解方程组，得到新的温度分布：Ti’计算：Max{abs(Ti-Ti’),i＝1,2,3,……,N}判断：abs(Ti-Ti’)是否小于（精度要求）如果不能满足精度要求，令Ti＝Ti’，重复上面的计算满足精度要求：计算结束计算机实现：算例希望大家用计算机完成上面的计算，并与下面的分析解结果比较：特别提示计算机实现的基础地位关键：掌握循环变量的使用基础：对算

6、法清晰透彻的把握保障：细心细心再细心29迎风格式I包含对流项和扩散项的控制方程：网格雷诺数30迎风格式II收敛条件为了避免数值振荡解如果31带有中心差分的数值振荡32迎风格式III例子如下：然而如果使用向后差分使用向前差分迎风格式一阶精度