第15讲 可降阶微分方程的求解z

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1、第15讲可降阶微分方程的求解()n知识点1：形如yfx()类型的微分方程求解：两边直接积分可求得通解2x例1：求微分方程ye的通解解：对方称两边积分一次得12xyeC1212x对上式两端再再积分一次得yeCxC124知识点2：形如yfxy(,)（不显含y）类型的微分方程求解：令ypx()，则yp，代入原方程化为一阶即可求解2例1：求微分方程y()xyy满足初始条件yy(1)(1)1的特解解：令ypx()，则yp，代入原方程化为

2、dp2()xppdx2dxxpdxx从而有，即pdppdpp由一阶线性微分方程的通解公式得11dpdpppxep()edpCp(pC)112由y(1)1知C0，则xp，px1即yx32从而有yxC2231由y(1)1知，C23321所以yx233知识点3：形如yfyy(,)（不显含x）类型的微分方程dp求解：令ypy()，则yp，代入原方程化为一阶即可求解dy21例1：求微分方程yyy0满足初始条件y1，y的

3、特解x0x02dp解：令ypy()，则yp，代入原方程化为dydp2dpdyypp0，dypyC111可得解得p，由yCyx02121dy1p，即2ydx2y解上述可分离变量方程得112yxC2221由y1得Cx0222则所求特解为yx1例2：设函数yxx()(0)二阶可导，且yx()>0，y(0)=1。过曲线上任意一点Pxy(,)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S，区1间[0,]x上以y()x为曲边的曲边

4、梯形面积为S，并设2SS1，求此曲线y()x的212方程。解：曲线y()x上点Pxy(,)处的切线方程为YyyxXx()()y它与x轴的交点为(,x0)。由于yx()>0，y(0)=1，从而yx()>0，于是y21yySyxx()122yyx又Sy()tdt202yx由条件21SS得y()tdt122y02对上式求导得yyydp令ypy()，则yp，代入原方程化为dydp2dpdyypp，dypydy解得pCy，即Cy11dx

5、于是yeCxC12x注意到yy(0)1,(0)1，从而可知CC1,0，故所求曲线方程为ye。12注释：本题综合考查了曲线的切线、曲边梯形的面积、二阶可降解微分方程的求解及其变上限积分的求导。例2：从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止v开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k,(k0

6、)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式。解：取沉放点为原点o，oy轴方向铅直向下，由牛顿第二定律得2dymmgBkv2dt2dydydvdydv令v,则v，原式化为2dtdtdydtdydvmvmvmgBkvdydvdymgBkvmm()mgB求解得yvmln(gBkv)C2kk由初始条件v0，求出y0mmgB()Cmln(gB)2kmm()mgBmgBkv故yvln()2kkmgB注释：本题主要考查

7、微分方程在物理上的应用。