10.3 可降阶的微分方程

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1、10.3可降阶的微分方程()n10.3.1yfx()型方程(1n)特点：不显含及yyy,,.解法：连续积分次。n()nn(1)y()(yfx)(1n)yfxdxC()1(2n)y(()fxdxCdxC)12y(((()fxdxCdx)Cdx))dxC12n2x例1.求解yecosx.2x解:yecosxdxC112xesinxC1212xcosxCxCye12412xyesinxCx2CxC81231此处C1C121例2求微

2、分方程y满足初始条件21xyx0,1yx02的特解.解对方程两端积分，得1y2dxC1arctanxC,11x由条件yx02得,C1.2所以yarctanx.2两端再积分，得yarctanx2dxC212xarctanxln(1x)2xC2,2将初始条件代入，得C2.1故所求特解为12yxarctanxln(1x)2x.1210.3.2y"=f(x,y')型方程特点：不显含因变量y.解法：因变量换元：py，降阶为pf(,)xp。若得解(;),pxC1则(;),y

3、xC1则(;,)yxCC(;)xCdxC1212注:y(n)=f(x,y(k),…,y(n-1))型()k因变量换元：py，()nk(1nk)降阶为pf(,,,xpp)。2例3求1(x)y2yx的满足yx0、1yx03的特解。2解缺y.令py，降阶为1(x)p2xp,2x改写为pp(可分离变量，齐次线性)21x2xdx22pC1e1xC1(x)yC1(x2)1113y(x;C1,C2)C1(xx)C2.3由初始条件，得C13，C21，3y(x)3xx.

4、110.3.3y"=f(y,y')型方程特点：不显含自变量x.解法：做因变量及自变量换元：dy新因变量,py新自变量,dxddydpdydp则yp(),dxdxdydxdydp原方程降阶为pf(y,p)dydy若得其解为p(y;C1),则(y;C1),dxdy原方程通解为xC2.(y;C1)例42求yyy0.的通解解不显含自变量。取py为因变量，y为自变量，dpdp2则yp,原方程化为ypp0,dydydpdp即py()p0,即或ypp00.dydydp（可分离变量，齐次线性）由yp

5、0dydy解得pCy1.Cy1dxCx原方程通解为yCe1.2作业习题10.3（P304）：1（2）（4）