可降阶二阶微分方程

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1、第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解的类型，读者应注意学习解微分方程的各种技巧。对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的解。§5.1＝f(x)型

2、的微分方程这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，就能得它的解积分一次得＝∫f(x)dx＋C1再积分一次得y＝∫［∫f(x)dx＋C1］dx＋C２上式含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以这就是方程的通解。例1.求方程＝－满足y｜x＝＝－，＝1的特解。解积分一次得＝ctanx＋C1以条件＝1代入得C1＝0，即有＝ctanx再积分一次得y＝ln｜sinx｜＋C2以条件y｜x＝＝－代入，得－＝ln＋C2即C2＝0于是所求特解是y＝

3、ln｜sinx｜。这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程＝f(x)，只要积分n次，就能求得它的通解。例2.解微分方程＝lnx＋x解积分一次得＝xlnx＋x＋C1积分二次得＝x2lnx－＋C1x＋C2积分三次得y＝lnx＋＋x2＋C2x＋C3§5.2＝f(x,)型的微分方程这种方程的特点是不明显含有未知函数y，解决的方法是：我们把作为未知函数，而使变换，令＝p于是有＝，这样可将原方程降为如下形式的一阶方程=f(x,p)这里p作为未知函数，如能求出其通解p＝φ(x,C１)然后根据关系式＝p即可求得原

4、方程的通解y＝∫φ(x,C1)dx＋C2例3.求微分方程(1＋x2)－2x＝0的通解解这是一个不明显含有未知函数y的方程作变换令＝p，则＝，于是原方程降阶为(1＋x2)－2px＝0＝dx积分得ln｜p｜＝ln(1＋x2)＋ln｜C1｜即p＝C1(1＋x2)从而＝C1(1＋x2)再积分一次得原方程的通解y＝C1(x＋)＋C2例4.设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)。解取曲线上最低点N的铅直线作Oy轴，取水平方向的直线为Ox轴，ON的

5、长暂时不定。取曲线上任一点M，由于这时绳索处在平衡状态，故可将这段绳索看作刚体，这段绳索上受到三个力的作用，在N点处切线方向的张力H，在M点处切线方向的张力T，以及本身重量p＝Sμ，其中S是的长度，μ是绳索单位长度的重量。将力T分解为水平分力及铅直分力，并应用力的平图6-2衡条件，可得知如下两个等式Tsinα＝SμTcosα＝H两式相除得tanα＝S若y＝y(x)是所求曲线的方程，则＝kS其中k=为消去变量S，将上式两边对x求导，得得＝k＝k这就是绳索曲线所满足的微分方程，也即绳索曲线的数学模型，此方程不明显

6、含未知函数y，设＝p，则＝，代入方程中得＝k即＝kdx两边积分得ln(p＋)＝kx＋C1由于在点N处x＝0，且有＝p＝0，(因N是曲线最低点)代入上式得C1＝0，于是有p＋＝ekx为求p，用p－乘上式两边，整理得p－＝－e－kx上述两式相加，得p＝(ekx－e－k)即＝(ekx－e－kx)积分得y＝(ekx＋e－kx)＋C2现在取｜ON｜＝＝a即得y｜x＝0＝a，得C2＝0，则所求曲线方程为y＝(e＋e)此曲线为悬链线。§5.3＝f(y，)型的微分方程这种方程的特点是，不明显含自变量x，解

7、决的方法是，可把y暂时作为这种类型方程的自变量，作变换，令＝p于是＝＝＝p这样可将原方程降一阶而成为关于p与y的一阶微分方程，将，代入原方程得p＝f(y，p)若其通解为p＝φ(y,C1)换回原来的变量，便有＝φ(y,C1)这是可分离变量的一阶微分方程，对其积分得通解∫dy＝x＋C２例5.解方程(）2－y＝0解这方程不明显含有x，令＝p，于是＝p，代入方程得p2－yp＝0即p(p－y)＝0由此有p＝0，或p－y＝0其中由p＝0，即＝0，得y＝常数而p－y＝0，可化为＝积分得ln｜p｜＝

8、ln｜y｜＋ln｜C1｜即p＝C1y即有＝C1y即dy＝C1dx两边积分得ln｜y｜＝C1x＋ln｜C２｜故y＝C2e在上式中令C1＝0得y＝常数，因此当p＝0时的解y＝常数已包含在y＝C2e所以，y＝C2e即为所求方程的通解。第六节二阶线性微分方程解的结构