可降阶的二阶微分方程.ppt

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1、第五节可降阶的二阶微分方程一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程四、可降阶二阶微分方程的应用举例一、型的微分方程解法特点右端仅含有自变量x,只要积分二次即得通解.例1解逐次积分的解法可用于解高阶微分方程积分n次即得含n个独立任意常数的通解.解解据题意有对方程两边积分,得例3质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线运动,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).在开始时刻t=0时F(0)=F0,随着时间的增大,此力F均匀地减小,直到t=T时F(T)=0.若开始时质点在原点,且初速度为0,求质点的运动规律.利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为二、型的微分方程特

2、点：解法：代入原方程,化为关于变量x,P的一阶微分方程关于p(x)的一阶方程设其通解为即再次积分,得原方程的通解解代入原方程,得解线性方程,得两端积分,得原方程通解为例1解代入原方程,得解线性方程,得两端积分,得原方程通解为例2解代入原方程,得解线性方程,得例3两端积分,得原方程通解为故所求原方程的解为:三、型的微分方程特点：解法：代入原方程,化为关于p(y)的一阶微分方程设其通解为即分离变量后积分,得原方程的通解解代入原方程得故原方程通解为例1即解2从而通解为例1解3原方程变为两边积分,得原方程通解为例2解代入原方程得故原方程通解为解2将方程写成积分后得通解例2解代入原方程得故

3、曲线方程为例解令代入方程得积分得即解例4解初值问题令代入方程得积分得即利用初始条件,根据积分得故所求特解为得四、小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令思考:1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如：2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.练习题练习题答案