求解离散化结构动力方程.docx

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1、求解离散化结构动力方程问题描述：图（1）离散化质量弹簧系统示意图取三自由度系统研究。质量、弹簧、阻尼连接关系如图（1）所示。各质点所受力为，各质点离开静平衡位置的距离为，初始条件为，上标表示对时间求导，下标表示第质点，第二下标表示为初始时刻。振型叠加法为降低计算量，得出较简洁结果，特别取(1)由牛顿第二定律可得系统振动微分方程(2)其中，，，其固有频率为正则振型矩阵为令(3)代入式，并在方程两边左乘，则正则坐标的振动微分方程为(4)记(5)(6)(7)方程为(8)式已解耦，各式为常微分方程可独立求解(9)式中表示第个方程的两个待定常数，由初始条件确定。代入初

2、始条件得。(10)同理解方程组解得，代到式得出表达式，再回代式即得各质点运动表达式。一般情况下结构不符合假设正则振型矩阵表达式较为复杂，当结构自由度数目增加时，使用解析的方法求正则振型矩阵较为困难。此时可使用矩阵迭代法就振型矩阵。作为练习，取以下数据，各量取国际单位，，，，，，代入式求出质量矩阵，刚度矩阵，阻尼矩阵。使用矩阵迭代法求得正则振型，及其对应固有频率为根据以上各式，解得(11)将式代入式，得出原坐标下各质点的位移曲线图图（3）使用振型叠加法求解的各质点位移-时间图如图（3）所示，受初始条件的影响，质点1，质点2在第一个周期内具有较大的回复速度。图中

3、显然可看出初始条件引起的振动属于衰减振动，在第三个周期后，衰减振动接近于零。由于质点2与质点3所受激励频率相同，方向相同，第四个周期后两者位移-时间曲线形状趋于一致。质点1所受激励方向与质点2，质点3方向相反，故其受迫振动的运动方向也相反。数值振动仿真随着结构以及荷载的复杂度增加，振型叠加法计算量有明显的提高，可见其局限性。此时使用数值振动仿真的方法，可简化计算工作，降低假设条件的限制。其思想先将时间离散为有限个时间点。根据控制方程，逐一时间点求出各质点运动量。本次作业采用4种振动仿真方法，分别为中心差分法，Houbolt法，Wilson-θ法，Newmar

4、k-β法。为作为对比，计算所取数据与上例相同。计算时间步长为0.05秒，前12秒计算结果如下图（3）各种求解方法质点1的位移-时间曲线图（4）各种求解方法质点1的位移-时间曲线图（5）各种求解方法质点3的位移-时间曲线由以上三图可知，各种方法求解结果的运动曲线图形状基本一致。随着计算时间步的增大，各种方法间的差别在缩小。质点3前半个周期，各种方法的差别较为明显。各种方法的误差比较假定振型叠加法求得结果为精确值。同一时间的三质点的累积绝对误差，其表达式如下(12)其中：下标——表示所使用的数值仿真的方法下标——表示不同的质点下标——表示第个时间点——表示其下标

5、对应的数值解——为精确解此处不采用相对误差，应为精确解与x轴有交点。在交点处相对误差分母为零，其值不稳定，不具有实际意义。图（6）各种仿真方法误差曲线如图(6)，在前10步中心差分法、Houbolt法、Newmark-β法误差扩散迅速，但在15步以后，三者误差明显有下降趋势。Wilson-θ法误差在第10步以后有明显增大。在100步以后各方法误差已下降至一稳定的范围。误差曲线与坐标轴的交点，在准确性上，不具有实际意义。交点产生原因是原运动曲线与精确值运动曲线相交所致。误差曲线与横坐标轴未产生交点，原因是三质点运动曲线未同时与精确值曲线相交。纵观全图，中心差分

6、法误差下降速度最快，后期误差控制在较小的范围。四种方法在本次计算中未出现误差发散的情况。为评判各方法的优劣，引入均方误差。其定义如下(13)其中：意义同前，为计算所取的时间步数。表（1）各数值仿真方法的均方误差中心差分法Houbolt法Wilson-θ法Newmark-β法5.6187e-31.0512e-29.8418e-31.3197e-2在本例中从均方误差角度看，中心差分法较为精确，均方误差值约为其他方法的一半。但这并不意味在实际中中心差分法为最优的计算方法。当时间步长大于临界值，即，为离散系统的最小周期，数值解将出现发散现象。遇到实际问题应具体问题具

7、体分析如何选择计算方法，即使选同一种方法如Newmark-β法，选择不同的参数β及步长，会有不同的精度与稳定性。附件：zhendongfangzhen.f90计算程序文件JiSuanLiXue3_huitu.m使用matlab绘图用程序文件