第16讲 高阶线性微分方程的求解z

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1、第16讲高阶线性微分方程的求解知识点1：二阶线性微分方程解的结构（1）方程的形式ypxyqxyfx()()()（二阶线性非齐次微分方程）ypxyqxy()()0（二阶线性齐次微分方程）（2）解的结构性质1：设y(),()xyx是齐次方程的两个线性无关的特解（即y()()xyx函数），1212则YCyxCy()(x)是其次方程的通解，其中CC,是任意常数。112212*性质2：若y是非齐次方程的一个特解，Yx()是对应齐次方程的通解，则*yyYx()是非齐次方程的通解。性质3：设y(),()xyx是非

2、齐次方程的两个相异的特解，则yyxyx()()为对应1212的齐次方程的解。性质4：若y，y分别是二阶非齐次线性方程ypxyqxyfx()()()与121ypxyqxyfx()()()的解，则yy是ypxyqxyfx()()()fx()的21212解。例1：设线性无关的函数y,,yy都是二阶非齐次线性微分ypxyqxyfx()()()123的解，CC,是任意常数，则该非齐次方程的通解应为（）12()ACyCyy11223()BCyCy()CCy1122123()CCy

3、Cy(1CCy)1122123()DCyCy(1CCy)1122123解：因为y,,yy是二阶非齐次方程的解，则Cyy()，Cyy()必定为其所对123113213应齐次的解，且容易判别Cyy()，Cyy()线性无关，113213所以由性质知选()D。知识点2：二阶常系数线性非齐次方程2（1）方程的形式ypyqyf(x)，并称pq0为其特征方程。（2）特解的形式x*kx类型1：ypyqyePx()，其中Px()是x的m次多项式，则令yxeQx()，mmm其中Qx()是x

4、的m次多项式。mk与的关系:k0，不是特征方程的根；k1，是特征方程的单根；k2，是特征方程的重根。Qx()与Px()的关系：mm若Px()为常数，则令Qx()a；mm若Px()为一次多项式，则令Qxax()b；mm2若Px()为二次多项式，则令Qx()axbxc；以此类推。mmx类型2：ypyqye[()cosPxxPx()sinx]，其中Px()是x的l次多项式，lnl*kx其中Px()是x的n次多项式，则令yxeP[(x)cosxPx()sin]x，其中nmmmnmax

5、(,)l。k与,的关系:k0，i不是特征方程的根；k1，i是特征方程的根。Px()、Px()、Px()与Px()的关系lnmm若Px()与Px()都为常数时，则令Pxa()，Px()b；lnmm若Px()与Px()至少有一个为一次多项式，则令Pxaxb()，Pxcxd()；lnmm22若Px()与Px()至少有一个为二次多项式，则令Px()axbxc，Pxdxexf()；lnmm以此类推。（3）求通解的步骤Step1：写出特征方程，并求出根；Step2：求出齐次的通解Yx()；*Step3

6、：用待定系数法求出非齐次的一个特解y；*Step4：yyYx()是非齐次方程的通解。题型1：求二阶线性齐次微分方程的通解例1：求微分方程yyy250的通解。2解：特征方程为rr250特征根为ri121,2xx故通解为yCecos2xCesin2x。12例2：求微分方程yyyy220的通解。32解：特征方程为rrr220特征根为r2，ri12,32x故通解为yCeCcosxCsinx。123题型2：直接求二阶线性非齐次微分方程的通解x例1：求微分方程y

7、32yyxe的通解。2解：特征方程为rr320特征根为rr1,212x2x齐次的通解为YxCeCe()12*x设非齐次的特解为yxaxbe()1代入原方程得ab,12*1x所以yxxe(1)2x2xx1从而所求通解为yCeCex(1x)e122例2：求微分方程yyxcosx的通解。2解：特征方程为r10特征根为ri1,2齐次的通解为YCxCxcossin12设非齐次方程yyx的特解为yAxB1代入方程得AB1,0，所以yx1设非齐次方程yy

8、cosx的特解为yCxDcossinx21代入方程得CD0,，21所以yxxsin221故原方程的通解为yCxcosCxxxsinsinx122题型3：确定二阶线性非齐次方程特解的类型2例1：微分方程yy