高阶微分方程求解.ppt

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1、高阶微分方程习题课一、主要内容高阶方程可降阶方程线性方程解的结构二阶常系数线性方程解的结构特征根法特征方程的根及其对应项待定系数法f(x)的形式及其特解形式微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易法特征方程法待定系数法非全微分方程非变量可分离幂级数解法降阶作变换作变换积分因子1、可降阶的高阶微分方程的解法型解法接连积分n次，得通解．型特点解法代入原方程,得型特点解法代入原方程,得2、线性微分方程解的结构（1）　二阶齐次方程解的结构:（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:非齐方程的任两解之差是相应齐方程的

2、解非齐通解=齐通解+非齐特解3、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为推广：阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.二、典型例题例1解代入方程，得故方程的通解为例2解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为由解得所以原方程满足初始条件的特解为例3设

3、二阶非齐次线性方程的三个特解为求其通解解由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解故是齐方程的两个解齐通解且线性无关非齐通解例4设f(x)具有连续的二阶导数试确定f(x)使曲线积分与路径无关解由曲线积分与路径无关的条件得即这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程齐通解例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为由解得由即故原方程的通解为例6解（１）　由题设可得：解此方程组，得（２）　原方程为由解的结构定理得方程的通解为测验题测验题答案