计算传热学第5讲离散方程的求解、加速及注意事项

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1、计算传热学第5讲离散方程的求解SolutionofDifferenceEquations本讲内容：引言几个基本事实基本迭代法加速收敛技术－块迭代法加速收敛技术－多重网格法加速收敛技术－块修正法加速收敛技术－其它方法收敛判据、收敛速度的控制及其它阅读要求陶文铨《数值传热学》第4章第4.4节第7章5.1离散化方程的求解必须讲求方法离散化代数方程的求解不论何种方法不论问题的性质如何且一般是非线性的具有基本重要性不可或缺离散化方程的求解必须讲求方法直接方法（或精确解法）directsolution未知数个数巨大计算工作量太大，根本得不到解舍入误差（round-offerror)得不到“精确解”

2、精确解法的结果往往是错误的只能采用迭代法（iterationmethod）在数值传热学中：基本重要性普通迭代法效率低收敛速度慢采用加速收敛方法（accelerationmethods）5.2几个基本事实离散化方程的形式：对于二维问题，对于一维问题，或者写成，39几个基本事实离散化方程的形式对于一维问题，它是一个三对角方程，TDMA法对于多维问题：大型稀疏系数矩阵不能形成“对角”方程对角方程：高效的求解方法聪明的节点编号：“对角方程”几个基本事实迭代法是近似法理论上：给出任意指定精度的近似解迭代法的收敛速度问题的性质结点数目增加，收敛速度迅速降低Recall：数值解的精度与子区域的大小有

3、关实际问题：结点数目非常大为什么节点数增加，收敛速度下降？边界条件信息向区域内部的传递速度节点多了，层次多了，“路径”长了，收敛速度慢了！特别提示加速边界信息的传递，必然会提高收敛速度加速收敛的主要思路之一几个基本事实收敛速度与边界条件的类型有关第一类边界：边界信息最为确定，收敛速度最快第三类边界：边界信息较确定，收敛速度较快第二类边界：边界信息最不确定，收敛速度最慢几个基本事实收敛速度与问题的类型有关：扩散型方程易于收敛对流－扩散方程收敛慢层流比紊流问题收敛更困难线性问题比非线性问题容易收敛收敛速度与迭代顺序有关设定边界条件时一定要慎重确定的待求变量数值几个基本事实三对角方程：可以高

4、效直接求解直接解法可以一次性传递边界信息迭代过程中要尽可能多地采用直接法5.3基本迭代法－松弛法松弛法（Relaxationmethod)用上次迭代值（0）和本次迭代值构造本轮迭代解，即，从方程（1）中解出P代入（4），有，松弛法（Relaxationmethod)是松弛因子，relaxationfactor0<<2=1:Gauss-Seidel迭代法<1:亚松弛（Underrelaxation）～>1:超松弛（Overrelaxation）～松弛法（Relaxationmethod)最佳松弛因子opt:获得最快的收敛速度不能事先预测对于扩散型问题：超松弛可以加速收敛

5、亚松弛：改善收敛特性，抑制发散复杂问题一般用亚松弛公式(5):点迭代（stepwiseiteration)程序简单收敛速度慢计算机速度的提高：点迭代的可能性松弛法（Relaxationmethod)松弛法的基本思想：具有重要意义点迭代线迭代源项等的处理：对于强源项问题，5.4加速收敛技术为什么一定要采用加速收敛方法？收敛速度成为制约因素加速收敛的基本出发点：加速边界信息的传递增加直接求解的份额最大限度地减少待求变量的数目5.4.1块迭代法块迭代法：Blockiteration将求解区域分成若干块（大的子区域）未知数个数巨大块：一条线和数条网格线组成同一块上的待求变量用直接法求解不同块之

6、间用迭代法求解这相当于：代数方程可以分区域求解各个区域间用迭代法完成5.4.1块迭代法最常用的方案：线迭代(lineiteration)对于二维问题，参见方程（2）：改写：方程（7）形式上变为一维问题线迭代法说明：形式上变为一维问题b’中的S和N是未知的：上次迭代值在同一条线上求解逐线求解，直到覆盖整个求解区域。扫描方向扫描方向线迭代法当然，将方程（2）还可以这样改写，显然，它给出了竖直线之间的迭代。扫描方向扫描方向线迭代法－说明交替方向法(ADI,AlternativeDirectionIteration)特点：增加了直接求解的份额加速了边界信息的传递速度大幅度地提高了收敛速度（

7、与点迭代相比）程序仍然相对简单内存占用增加不多属于必须掌握的方法线迭代法－说明分类Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代松弛迭代系数一定要采用Jacobi迭代，否则扩散系数计算的不一致导致违反流的相容性原则迭代过程发散线迭代法－说明扫描方向与扫描起始线对收敛速度的影响比较大有确定信息的边界作为扫描起始线扫描方向：对着边界信息较确定的边界各边界信息量相同时：“短路径”原则1st3rd2nd2nd扫描方向yx线迭代法－说明程序中扫描方向的设计