计算传热学第6讲.ppt

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1、第6讲对流-扩散方程的离散化DiscretizationofConvection-DiffusionEquations本讲内容对流－扩散问题的特征二阶中心差分格式之不可能一阶格式一阶格式的缺陷高阶格式多维问题及边界条件的处理byProfessorLiuZhongliang阅读要求、习题阅读要求：陶文铨《数值传热学》第5章习题：P183题5－2P184题5－4、5－11第三题byProfessorLiuZhongliang单独讨论CDE离散化的必要性差分格式：前面介绍的导出方法的不可行性对流扩散问题的分类及解法边

2、界层问题非边界层问题特殊的问题必须采用特殊的处理方法byProfessorLiuZhongliang6.1通用方程与四个原则TheEquation通用变量，generalizeddependentvariable广义密度，universaldensityU速度向量（场），velocityvector(field)广义扩散系数，universaldiffusivityS广义源项，（universal)sourcetermUnsteadytermConvectiontermDiffusiontermSou

3、rcetermbyProfessorLiuZhongliang四个原则四个基本原则是：控制界面上流的相容性原则系数同号原则相邻数之和原则负斜率源项原则物理真实解：必备条件byProfessorLiuZhongliang6.2对流－扩散问题的特征物理上：存在宏观相对运动，对流效应数学上：一阶偏导数项数值困难对流项的存在核心解决好对流项的离散化问题byProfessorLiuZhongliang6.3Taylor级数展开法与CV法对象：一维稳态无源问题x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(

4、x)eweWPE图1一维问题空间区域的离散化byProfessorLiuZhongliangTAYLOR级数展开法将（3）应用于节点P，等步长时，(x)w=(x)e=x于是，byProfessorLiuZhongliangTAYLOR级数展开法将方程（5）、（6）代入（4），整理后就得到差分方程。结果如下：byProfessorLiuZhongliangTAYLOR级数展开法byProfessorLiuZhongliang控制容积法将方程（3）对控制容积P积分，x(x)+e(x)-w(x)-e(

5、x)+w(x)w(x)eweWPE图1一维问题空间区域的离散化注意到，及，byProfessorLiuZhongliang控制容积法将（9）、（10）代入方程（8），得到，注意：该式与原方程是严格等价的，它不是近似成立的！byProfessorLiuZhongliang控制容积法如果我们假定节点间待求变量按线性分布，则有，将（12）代入方程（11），得到与Taylor级数展开法相同的结果！byProfessorLiuZhongliang控制容积法注意，在处理积分时，上面的处理方法与下面的处理方法并不是等价

6、的，而且，可以证明它是二阶精度的byProfessorLiuZhongliang控制容积法－特别说明在对流扩散方程的离散化中，关键是对流项的处理。扩散项一般采用二阶精度的三点中心差分格式，于是，式(11)式(9)，也即方程（13）等号左边是精确的，所以可以采用不同的手段来提高它的精度。对流扩散方程的离散化：控制界面处待求变量的处理byProfessorLiuZhongliang6.4中心差分格式Central-DifferencingScheme对流项采用中心差分格式，亦即假定节点间待求变量线性分布，于是将（1

7、2）代入式（13），整理后得到，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式令，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式而差分方程（14）就简单地变为，byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－说明与讨论小写字母下标表示在控制界面处取值大写字母下标表示在节点处取值对流项的引入并没有改变差分方程的形式：所以求解差分方程的方法同样适用。x(x)+e(x)-w(x)-e(x)+w(x)w(x)eweWPE图1一维问题空间区域的离散化byProfes

8、sorLiuZhongliang中心差分格式－说明与讨论F和D的物理意义：表示了对流强度的大小，其正负由速度u的符号决定。当流向与坐标轴x的正方向一致时，F>0，否则，F<0。表示了扩散强度的大小，且D0。byProfessorLiuZhongliang中心差分格式－说明与讨论网格Peclet数物理意义：表示了对流与扩散强度的相对大小网格Peclet数特征长度：网格尺寸x特征质量流