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《成才之路数学选修2-1之1-1-1 (51).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、3．2立体几何中的向量方法1．知识与技能理解直线的方向向量，平面的法向量．能够利用直线的方向向量和平面的法向量处理线面的位置关系．2．过程与方法了解体会用向量方法解决立体几何问题的思路步骤．重点：平面的法向量．难点：利用向量知识处理立体几何问题．1．由定点A和方向向量a可以确定直线l的位置，也可具体表示出l上的任意点；还可依据直线的方向向量确定直线平行的条件，计算两条直线所成的角，研究线面的平行与垂直等．2．平面的法向量也是一个很重要的概念，由定点A和平面的法向量可以确定平面的位置．通过平面的法向量能研究直线与平面的平行、垂直、平面与平面的平
2、行、垂直、线面角、二面角及距离问题等，应用非常广泛．3．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．注：教材在3.2这一单元阐述的很粗，而空间向量在几何中的应用是研究空间向量的一个主要出发点，也是高考的重点，故这一单元准备把用向量方法解决立体几何中的线面平行、垂直关系、夹角、距离问题分类讨论，帮助同学们形成完整
3、的知识体系．定点A定方向这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．2．空间中平面α的位置可以由α内两条直线来确定.设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对(x，y)，使得这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．相交xa＋yb3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的．给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量的平面唯一确定．法向量
4、4．空间直线与平面的位置关系可以由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系来研究．设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α、β不重合且l、m不在平面α、β内时，有(1)l∥m⇔⇔；(2)l⊥m⇔⇔；(3)l∥α⇔⇔；(4)l⊥α⇔⇔.(5)α∥β⇔⇔；(6)α⊥β⇔⇔.a∥b存在k∈R，使a＝kba⊥ba·b＝0a⊥ua·u＝0a∥u存在k∈R，使a＝kuu∥v存在k∈R，使u＝kvu⊥vu·v＝0注：①由前提知a，b，u，v都是非零向量．②用(1)证明线线平行时，必须指明l与m不重合；用(3)证明
5、线面平行时必须说明l⊄α；用(5)证明二面平行时，必须说明α与β不重合．[例1]设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列条件判断l1、l2的位置关系．(1)a＝(2，－2，－2)，b＝(6,3，－6)；(2)a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)；(3)a＝(0,0，－1)，b＝(0,0,4)．[分析]设l1、l2的方向向量分别为a，b，则l1∥l2或l1与l2重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.[解析](1)显然有b＝3a，即a∥b，∴l1∥l2(或l1与l2重合)．(2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(3
6、)显然b＝－4a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．A．平行B．垂直C．相交D．重合[答案]B[例2]设u，v分别是不重合平面α、β的法向量，根据下列条件，判断α、β的位置关系．(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)；[解析](1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.(2)观察知v＝－2u，即u∥v，∴α∥β.(3)∵u·v＝－29≠0，∴u、v不垂直，显然u≠v，∴α与β既不平行也不垂直．不重合平面α、β的法向量分别为n1＝(1,2，－3)，n2＝(－2,1,3)，判断α与β的位置关系________．[解
7、析]∵n1≠n2，且n1·n2≠0，∴α与β相交但不垂直.[例3]已知A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．[点评](1)在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)在求n的坐标时，可令x、y、z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．过点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面的法向量为________．[答案](1,1,1)[点评]提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为1时一定要注意这个坐标不为0如本题中若求平面AOB的法向量时，就不能设其法向量为(1，y
8、，z)．[例4]三条直线a、b、c，若a∥b，a∥c，求证b∥c.[证明]设a、b、c的方向向量分别为e1、e2、e3，∵a∥b，∴存在k∈R，使e2＝ke1，∵a
