博弈论与信息经济学-2-3纳什均衡存在性.ppt

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1、博弈论与信息经济学第2章完全但不完美信息静态博弈-3——纳什均衡的存在性四个均衡概念的关系占优战略均衡(DSE)、重复剔除的占优均衡(IEDE)、纯战略纳什均衡(PNE)和混合战略纳什均衡(MNE)，每个均衡概念依次是前一个均衡概念的扩展，或者说，前一个均衡概念是后一个均衡概念的特例。如果将存在某个适当定义的均衡的所有博弈称为一个集合，那么，存在前一个均衡的集合依次为存在后一个均衡的集合的子集纳什均衡的存在性是不是所有的博弈都存在纳什均衡呢?不一定。但是，纳什(Nash，1950)证明，任何有限博弈都存在至少一个纳什均衡。纳什

2、均衡的存在性定理-I(Nash，I950)：每一个有限博弈至少存在一个纳什均衡(纯战略的或混合战略的)。这里，有限博弈指的是有有限个参与人且每个参与人有有限个纯战略的博弈。均衡与不动点在经济学中，说明一个方程系统存在均衡解的方法是将问题变成寻找一个适当构造的某种集合ARN到其自身(A)的函数或对应的不动点。纳什均衡存在性定理的证明要用到Kakutani不动点定理(fixedpointtheorem)。Kakutani不动点定理是关于映射的Brouwer不动点定理在对应上的扩展。一个向量x是映射f(.)的Brouwer不动点，

3、如果x=f(x)；或者是对应f(.)的Kakutani不动点，如果xf(x)。即，向量映射或对应到自身，并且保持固定。函数与对应函数或映射是集合上点与点之间的联系规则，对应(correspondence)是集合上点与子集之间的联系规则。简单地说，给定X上的一个点x，如果f(x)给出唯一的一个点y∈Y，f(x)称为从X到Y的函数；如果f(x)给出一个点集Y(x)Y，f(x)称为从X到Y的对应。函数或映射是对应的特例，即Y(x)只包含唯一点的情况，而函数也可以看作是映射的特例，因为映射允许集合的元素是非实数。反应函数与反应对应

4、在库诺特模型中，给定企业j的产量qj，企业i的最优产量qi是唯一的，我们称qi=Ri(qj)为企业i的反应函数。在两人混合战略均衡中，给定参与人j的（均衡）混合战略σj，参与人i可能有无穷多个最优混合战略σi，我们称σi=ri(σj)为i的反应对应。Brouwer不动点定理假定f(x)是定义在点集X上的函数。如果f(x)是自身对自身的映射(即f:X→X)，f(x)是连续的，X是非空的、紧的（有界的和闭的）、凸集合，那么，至少存在一个x*∈X，使得f(x*)=x*，x*称为不动点。函数的连续性及集合的闭性(有界且包括边界)、有界

5、性(有极限点)和凸性是保证不动点存在的充分条件，而不是必要条件。即使这些条件都不满足，不动点也可能存在。RRx1x2x1x2x1x2R闭区间开区间半开区间闭集合开集合平行阴影集合A是开的（相对于X），虚边线上的点不属于A，开圆盘x在A中。平行阴影集合A是闭的（相对于X），因为集合A的补集XA是开的，开圆盘x在XA中，实线上的点属于A。凸集凸集合：集合ARN是凸的，如果x+(1-)x’A，其中，x，x’A，并且[0，1]。也就是说，如果RN中的一个集合A是凸的，那么，如果它含有两个向量x和x’，就包含连接这两个

6、向量的整个线段(这两个向量的凸组合或加权平均)。凸集合非凸集元素的全可见性与部分不可见性xx’xx’f:[0,1]→[0,1]是连续函数，X=[0,1]是闭的、有界的、凸的，Brouwer不动点定理的条件均满足,x*是一个不动点。X={x:0≤x≤x0，x1≤x≤1}不是凸的，因为(x0，x1)X，没有不动点。Brouwer不动点定理：一维实数空间上的连续函数/映射：图像与45º线相交X=[0，∞)不是有界的，没有不动点。X=[0，1)不包含点1，因而不是闭的，没有不动点。Brouwer不动点定理：一维实数空间上的连续函数/

7、映射：图像与45º线相交f(x)在点x0是不连续的，没有不动点。f(x)在点x0不连续，X是非闭的(不包括x=1的点)，但有两个不动点存在。Brouwer不动点定理：一维实数空间上的连续函数/映射：图像与45º线相交从[0，1]到其自身的连续函数有一个不动点连续性假设是不可缺少的，不连续函数可能没有不动点Brouwer不动点定理：一维实数空间上的连续函数/映射：图像与45º线相交映射f:A→A有三个不动点Brouwer不动点定理：一维实数空间上的连续函数/映射：图像与45º线相交Kakutani不动点定理假定f(x):X→X是

8、定义在点集X上的对应，如果X是非空的、闭的、有界的和凸的，f(x)对于所有的x∈X是非空的、凸的，且上半连续(uppersemi-continuous)，那么，至少存在一个x*∈X，使得x*∈f(x*)，称为不动点。对应的上半连续性等价于Brouwer不动点定理中函数的连续性