第八章 第八节 直线与圆锥曲线(理).ppt

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1、1.理解数形结合思想.2.了解圆锥曲线的简单应用.1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由得ax2＋bx＋c＝0.(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则①Δ>0，直线l与圆锥曲线．②Δ＝0，直线l与圆锥曲线．③Δ<0，直线l与圆锥曲线．相交相切相离(2)若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．若曲线为双曲线，则直线与双曲线的平行；若曲线为抛物线，则直线与抛物线的平行．渐近线对称轴2．圆锥曲线的弦长问题设直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x

2、1，y1)，B(x2，y2)，则弦长

3、AB

4、＝.

5、x1－x2

6、1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4所表示的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：∵θ∈R，∴sinθ∈[－1,1]，∴方程x2＋y2sinθ＝4不可能是抛物线．答案：C2．圆心在抛物线x2＝－8y上的动圆经过点(0，－2)，且恒与定直线l相切，则直线l的方程是()A．y＝4B．x＝4C．y＝2D．x＝2解析：由题意知，圆心到点(0，－2)与到直线y＝2的距离相等，故直线l的方程为y＝2.答案：C3．直线y＝

7、kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：A4．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于________．解析：取特殊情况：直线y＝，得p＝q＝.∴＝4a.答案：4a5．已知双曲线x2－y2＝1和斜率为的直线l交于A、B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是____________

8、__．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点坐标(x0，y0)，则，两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，∵≠0，∴，∴，即y0＝2x0.答案：y＝2x1.直线与圆锥曲线的关系是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用根与系数的关系及“设而不求”的技巧．2．运用“点差法”解决弦的中点问题涉及弦的中点问题，可以利用判别式和根与系数的关系加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题．若知道中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜率．比较两种方法，用“点

9、差法”计算量较小，此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式Δ加以检验．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)．(1)求过P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点；(2)是否存在过P点的弦AB，使AB的中点为P?[思路点拨][课堂笔记](1)当直线l的斜率不存在时，有一个交点．设直线l方程为y－2＝k(x－1)，代入C的方程，并整理得(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0.当2－k2＝0，即k＝±时，方程只有一解，故l与C只

10、有一个交点；当2－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.∴当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点；同理，由Δ>0，Δ<0可得当时，l与C没有交点．(2)假设以P为中点的弦AB存在，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是(1)中方程的两根，由根与系数的关系得＝1，故k＝1.而当k＝1时，l与C有两个交点．∴这样的弦存在，方程为y＝x＋1.本例条件中将“点P(1,2)”改为“点Q(1,1)”，问以点Q为中点的弦是否存在？解：假设弦AB以Q

11、为中点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以2＝2,2＝2，两式相减得2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，∴2(x1－x2)＝(y1－y2)，∴kAB＝2.经检验当AB的斜率为2时，直线AB与C无交点，所以假设不正确，即使Q为中点的弦不存在.求圆锥曲线的弦长问题的一般思路是：将直线方程代入圆锥曲线方程，消去y(或x)后，得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)，再由弦长公式

12、AB

13、＝

14、x1－x2

15、＝

16、y1－y2

17、，求出其弦长．在

18、求

19、x1－x2

20、时，可直接利用公式

21、x1－x2

22、＝求得．已知椭圆C：x2＋＝1，过点M(0,3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.(1)若l与x轴相交于点N，且M、N两点关于A对称，求直线l的方程；(2)若

23、AB

24、<3，则直线l的斜率存在与否？若存在求出其范围．[思路点拨][课堂笔记](1)∵M、N两点关于点A对称，∴A是MN的中点．设A(x1，y1)，又M(0,3)，N点纵坐标为0，所以y1＝.又因为点A(x1，y1)在椭圆C上，所以＋＝1，即＋＝1，解得x1＝±，则点A的