第14章第1节偏导数和全微分的概念.ppt

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1、在多元函数极限和连续概念基础上,讨论多元函数的偏导数和全微分及其在几何方面的应用。为学习多元函数积分学奠定基础。Chapter14.偏导数和全微分教学目的：教学重点和难点：多元函数的偏导数的概念1§1.偏导数和全微分的概念§2.求复合函数偏导数的链式法则§3.由方程（组）所确定的函数的求导法§4.空间曲线的切线和法平面§5.曲面的切平面与法线§6.方向导数和梯度§7.泰勒公式Chapter14.偏导数和全微分教学内容：2一、偏导数的定义3二元函数的图形通常是一张曲面.456偏导数的概念可以推广到二元以上函数.7由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。只要把x之外的其他自变量暂

2、时看成常量，对x求导数即可。只要把y之外的其他自变量暂时看成常量，对y求导数即可。其它情况类似。8解把y看成常量把x看成常量解把y看成常量把x看成常量9解：10在某一点偏导数存在与连续的关系:但函数在该点处并不连续.一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在连续.连续.偏导数存在连续.11偏导数的几何意义如图12几何意义:13二、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得14全增量的概念15全微分的定义16事实上可微连续17即定理118证明:总成立,同理可得(证毕)19一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在例如:微分存在．全微分存在．说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全

3、微分存在。20证明2122同理(第二个方括号内应用)这里是说:23全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的微分符合叠加原理．24解(2,1)处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。25例5:解：26解所求全微分27证明（1）令(先证连续)28(再证偏导数存在)2930总结：31多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在32练习33三、高阶偏导数与高阶全微分纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.(先对x后对y)(先对y后对x)34解35解36问题:混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等

4、？定理3证明：作辅助函数3738于是有(证毕)3940解41