现代控制原理第5章 系统运动的稳定性分析.ppt

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1、第5章控制系统的稳定性分析5.1李雅普诺夫稳定性定义5.2李雅普诺夫稳定性理论5.3线性系统的李雅普诺夫稳定性分析5.4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析*5.5李雅普诺夫第二法在系统设计中的应用稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不考虑输入作用。1.线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统初始条件及外作用无关；2.非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与系统初始条件及外作用有关；稳定性是系统的重要特性

2、，是系统正常工作的必要条件。线性定常系统通常只有一个平衡点，可将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。其它系统平衡点不止一个，不同平衡点有着不同的稳定性，通常只讨论某一平衡状态的稳定性。稳定性判别方法经典控制理论中：线性定常系统的稳定性：代数判据（劳斯判据、赫尔维茨判据）；奈奎斯特判据；对数稳定判据等。非线性定常系统的稳定性：描述函数法：要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；相平面法：仅适合于一阶、二阶非线性系统。现代控制理论中：一般系统（包括单变量、线性、定常系统，以及多变量、非线性、时变系统）的稳定性：李雅普诺夫稳定性

3、理论。李雅普诺夫稳定性理论：李雅普诺夫稳定性理论在建立了一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法。1.间接法：利用线性系统微分方程的解来判系统的稳定性，又称李雅普诺夫第一法；2.直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，然后利用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，又称李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般理论，它采用状态空间描述，在分析一些特定的非线性系统的稳定性时，有效地解决了其它方法所不能解决的问题。该理论比经典控制理论中的稳定性判据适应范围更广。5.1李雅普诺夫稳定性定义BI

4、BO稳定性的概念李雅普诺夫稳定性的物理意义是系统响应是否有界。BoundedInputBoundedOutput(BIBO)Stable定义：对于一个初始条件为零的系统，如果在有界的输入u(t)的作用下，所产生的输出y(t)也是有界的，则称此系统是外部稳定的，也即是有界输入-有界输出稳定的。并简称为BIBO稳定。如果输入有界，是指≤如果输出有界，是指≤1.平衡状态的定义设系统状态方程为：若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为xe。故有下式成立：由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2.平衡状态的求法由定义

5、，平衡状态将包含在这样一个代数方程组中。对于线性定常系统，其平衡状态为xe应满足代数方程。只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。5.1.1平衡状态李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于非线性系统，方程的解可能有多个，视系统方程而定。如：该系统存在三个平衡状态：范数的定义：n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用表示，则：5.5.2范数的概念向量的距离:长度称为向量x与xe的距离，写为：若能使系统从任意初态x0出发的解在t>t0的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径ε的闭球域S(ε)内，即：定义：对于系

6、统，设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即5.1.3李雅普诺夫稳定性定义1．李雅普诺夫意义下的稳定性则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。几何意义按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超出S(ε)，则认为是稳定的，这与经典控制理论中线性定常系统的稳定性定义有差异。Lyapunov意义下稳定2．渐进稳定性（经典理论稳定性）定义：如果系统的平衡状态xe不仅有李雅普诺夫意义下的稳定性，且对于任意小量μ>0，总有这时，从S(δ)出发的轨

7、迹不仅不会超出S(ε)，且当t→∞时收敛于xe，可见经典控制理论中的稳定性定义与渐进稳定性对应。则称平衡状态xe是李雅普诺夫意义下渐进稳定的。当t0与t、无关时，则称xe=0为一致渐进稳定。几何意义：渐进稳定渐进稳定定义：当初始状态扩展到整个状态空间，且平衡状态xe均具有渐进稳定性，称这种平衡状态xe是大范围渐进稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛于xe。3.大范围渐进稳定性对于严格的线性系统，如果它是渐进稳定的，必定是大范围渐进稳定的。这是因为线性系统的稳定性与初始条件的大小无

8、关。而对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件大小密切相关，系统渐进稳定不一定是大范围渐进稳定。当稳定性与的选择无关时，称一致全局渐近稳定。大范围稳定的系统局部稳定的系统几何意义：定义：若对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管这两个实数多么小，在S(δ)内总存在一个状态x