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1、现代控制理论基础4控制系统的稳定性第四章稳定性与李雅普诺夫方法经典控制中的稳定性引言判据1892年Lyapunov第一法（间接法）第二法（直接法）李亚普诺夫意义下的稳定性适用于线性时不变系统适用于各类系统:线性,非线性李亚普诺夫稳定性理论基本内容第四章稳定性与李雅普诺夫方法最优系统设计最优滤波自适应控制李雅普诺夫函数第一方法(间接法)：对线性系统求解特征方程对非线性系统，首先线性化，在求解特征方程第二方法(直接法)：不求解特征方程，直接根据李氏函数进行判断4.1李亚普诺夫稳定性定义一、范数定义：状态空间中两个向量的距离x1x2xex2几何含义0x1xe1xe10x1xe2
2、x24-1李雅普诺夫关于稳定性的定义齐次状态方程一个或多个平衡状态平衡状态线性系统4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义例如：求下列系统的平衡状态唯一平衡状态,系统的稳定性平衡状态的稳定性任意的非零平衡状态,都可以通过坐标变换,将其平移到原点则xe=04-1李雅普诺夫关于稳定性的定义稳定性分类①稳定②渐近稳定③大范围渐近稳定④不稳定1稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一实数δ(ε,t)>0，使当
3、
4、x0-xe
5、
6、≤δ时，从任意初态出发的解Φ(t,x0,t0)都能满足
7、
8、Φ(t,x0,t0)-xe
9、
10、≤δ那么系统在平衡状态是稳定的。（2）几何含义εδxe
11、x04-1李雅普诺夫关于稳定性的定义2渐近稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一实数δ(ε,t)>0，使当
12、
13、x0-xe
14、
15、≤δ时，从任意初态出发的解Φ(t,x0,t0)都能满足
16、
17、Φ(t,x0,t0)-xe
18、
19、≤ε且lim
20、
21、Φ(t,x0,t0)-xe
22、
23、≤μ那么系统在平衡状态xe是渐近稳定的。（2）几何含义εδxex04-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态.对于线性系统,如果平衡状态是渐近稳定的,则必然也是大范围渐近稳定.当系统满足渐进稳定,而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线
24、都具有渐近稳定性,则这种平衡状态是大范围渐近稳定.3大范围渐近稳定4不稳定（1）定义对于给定的系统，如任意给定实数ε>0，都存在另一实数δ(ε,t)>0，使当
25、
26、x0-xe
27、
28、≤δ时，总存在一个初始状态x0，使得
29、
30、Φ(t,x0,t0)-xe
31、
32、>ε那么系统在平衡状态xe是不稳定的。（2）几何含义εδxex04应注意的几个问题对线性系统来讲，任意一个孤立的平衡状态都可以通过坐标变化转移到状态空间的原点。因此分析坐标原点的稳定性具有代表意义。对非线性系统来讲，如果具有多个平衡状态，各平衡状态的稳定性有可能不同。因此应对每个平衡状态分别进行分析。稳定和渐近稳定有很大的区别。在
33、实际工程中，通常认为渐近稳定比稳定的性质更为重要。对线性系统而言，如果平衡状态是渐近稳定的，那么也一定是大范围渐近稳定的。4-2李雅普诺夫第一法直线一级倒立摆4-2李雅普诺夫第一法直线一级倒立摆4-2李雅普诺夫第一法直线一级顺摆吊车4-2李雅普诺夫第一法通过状态方程的解来判断系统的稳定性平衡状态xe=0判断线性系统稳定性的步骤:稳定性属于李氏的哪一种状态稳定与输出稳定的关系4-2李雅普诺夫第一法线性系统的稳定判据唯一平衡状态xe=0,非零初始状态x0引起的响应x(t)大范围渐近稳定充要条件是,A的特征值都有负的实部.4-2李雅普诺夫第一法系统输出的稳定传递函数的极点全部位
34、于s平面的左半开平面例题4-1分析系统状态的稳定性和输出的稳定性4-2李雅普诺夫第一法解:状态不是渐近稳定.系统传递函数4-2李雅普诺夫第一法系统输出的稳定？输出的渐近稳定=状态的渐近稳定当没有零极点对消时:传递函数的极点=A的特征值4-2李雅普诺夫第一法第一法小结特征方程的根都具有负的实部系统状态渐近稳定传递函数没有零极点对消状态稳定与输出稳定等价上节课主要内容εδxex0εδxex0εδxex0平衡状态李亚普诺夫稳定性李亚普诺夫稳定性第一定理4.3李亚普诺夫第二方法一、数学预备二次型函数---〉矩阵表达式函数的符号特性---〉二次型函数的符号特征判断二、第二方法李亚普
35、诺夫函数李亚普诺夫稳定性判据4.3李亚普诺夫第二方法一、二次型函数的基本概念1定义：标量函数的各项最高次数不超过2次2表达式：3矩阵表达二、标量函数的定号性1定号性的定义对于v(x)当x=0时，v(x)=0；当x≠0时，如果v(x)>0，那么v(x)为正定；如果v(x)≥0，那么v(x)为正半定；如果v(x)<0，那么v(x)为负定；如果v(x)≤0，那么v(x)为负半定；2二次型标量函数的定号性判别(充要条件)正定：A的各阶主子式行列式大于零，即Δk>0正半定:A的各阶主子式行列式大于或等于零，Δk≥0负定：A的各阶主子式行
