现代控制理论4稳定性

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1、4稳定性分析4．1李氏稳定性分析（1）平衡状态设系统—n维状态向量。—n维函数向量。若存在状态向量，对所有的，使得成立，则称为系统的平衡状态。例如系统解：有3个平衡点，，（2）稳定性分析1）李亚普诺夫意义下的稳定对于任选，都对应存在的实数，当时其解满足则称平衡状态为李亚普诺夫意义下的稳定，如果与无关，则称是一致稳定的。1）渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当时，则平衡点是渐近稳定的。2）大范围稳定如果稳定，而且对于所有的，，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。3）不稳定由初始状态引起的运

2、动无论，多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点是不稳定的。4．2李氏第一方法（1）线性定常系统的稳定判据：系统稳定的充要条件是的特征根全位于左半面，输出稳定的充要条件是的极点全位于左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。例：，，，状态不全稳定，属于状态不稳系统，而输出为是输出稳定系统。（1）非线性系统的稳定性设系统状态方程为，为其平衡点可将邻域内展成泰勒级数，—高阶导数项称为雅可比矩阵线性化近似方程为，李氏结论：①如果系数矩阵A的所有特征根都具有负实部则原系统在平衡点是

3、渐近稳定的，与无关；②如果A的特征根有位于右半面的，系统的平衡点不稳定；③如果A的特征根有位于平面纵轴上的，则的稳定性将取决于，仅由A不能下结论。例判断系统的稳定性。解：系统有三个平衡点，在处将其线性化得：，，特征根为-1，1，原系统在是不稳定的；在处将其线性化得：，，特征根为，在纵轴上难以得出点的稳定性结论。（可由第二方法判定）4．3李氏第二方法第二方法也称直接法，构造系统的李亚普诺夫函数对系统的平衡点进行判断。（1）预备知识1）标量函数正定性的定义：设是由维矢量定义的标量函数，[属于欧氏空间

4、]，在处，，而的其他非0向量如果成立①，则称为正定的，如②，则称半正定，如③，则称为负定的，如④，则称半负定，如⑤或，则称为不定的，如例判断下列函数的正定性，解：，对于非0的，例如，，其它为，所以是半正定的。2）二次型标量函数定义二次型标量函数若为实对称矩阵则必存在正交矩阵通过变换使其化成称以上形式为二次型函数的标准型，正定的充要条件是的所有特征值均大于0，于是的正定性与的正定性一致，只需判定的正定性即可得知的正定性。1）希尔维斯特判据设为的阶主子行列式，则实对称矩阵的正定性判别如下①，，则是正

5、定的；②，则是负定的；③，则是半正定的（非负定）；④，则是半负定的。（2）稳定判据充分条件系统状态方程平衡状态点，满足如果存在一个标量函数，满足对所有的都具有连续的一阶偏导，正定，当时;，沿状态轨迹方向对时间的导数各种情况的判据为①，负半定，稳定；②，负定；或，对于任意，不恒为0，是渐近稳定的；③，则不稳定；④若正定，负定，有时为大范围渐近稳定平衡点。以上判据为充分条件，如找不到适当的李氏函数则不能做出任何结论。例已知分析平衡点的稳定性。解：是唯一的平衡点取正定的标量函数为，将系统方程，代入可见

6、负定。当有，系统在处为大范围渐近。例确定处的稳定性解：取，，对于，因此系统在点是不稳定的。由可得，二个根全位于右平面。例，，分析系统的稳定性解：，取，可见，表明系统能量为一常数，相平面上是沿半径为，圆心位于原点的圆运动。（1）关于李氏函数的几点讨论1）李氏函数是象征系统运动能量的标量函数，如存在不是唯一的。2）的最简形式可以考虑二次型函数，但有时也需要考虑高次的正定函数。3）如找不到，对系统不能做任何结论，李氏方法只是充分条件。4．4李氏方法在线性系统中的应用（1）线性定常系统的稳定判据系统在平

7、衡点大范围渐近稳定的充要条件是李亚普诺夫方程存在对称、正定的唯一解，其中为任意正定实对称矩阵，并且是系统的李亚普诺夫函数。证明：取，设为正定实对称矩阵，于是可知（除外），且时。若使系统稳定应有，即，正定对称于是有例，分析系统在平衡点处的稳定性。解：，取，，李氏方程为可求得，，正定，因此系统是大范围渐近稳定的。（1）线性定常离散系统稳定判据点渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定实对称矩阵必存在唯一正定实对称矩阵，满足而且系统的李亚普诺夫函数为证明：设，正定实对称矩阵，则若使系统渐近稳定，应要求

8、因此应满足，为正定对称矩阵。4．5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用（1）雅可比矩阵法设系统为，，为非线性函数。设是平衡点则系统在原点渐近稳定的充要条件为：任给正定实对称矩阵满足，并且。当时，系统在点是大范围渐近稳定的。证明：取系统渐近稳定要求，即若取，则，则李氏方程为取时，称为克拉索夫斯基法。例系统的状态方程为用克拉索夫斯基法分析处的稳定性。解：，，，，，时。系统在大范围渐近稳定。