现代控制理论第4章

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1、4.5状态观测器在4.2节屮介绍控制系统设计的极点配置方法时，曾假设所有的状态变最均可有效地用于反馈。然而在实际情况中，不是所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要要估计不可用的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个单一的微分过程可使信噪比减小数倍。有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。不能观测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的装置（或计算机程序）称为状态观测器，或简称观测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变最，不

2、管其是否能肓接测最，这种状态观测器均称为全维状态观测器。有时，只需观测不可测量的状态变最，而不是可直接测最的状太态变最。例如，由于输出变最是能观测的，并且它们与状态变最线性相关，所以无需观测所有的状态变量，而只观测”讪个状态变量，其中n是状态向量的维数，加是输出向量的维数。估计小于川个状态变最S为状态向最的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称为降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。4.5.1引言状态观测器基于输出的测最和控制变最来估计状态

3、变量。在3.7节讨论的能观测性概念有重要作用。正如卞面将看到的，当口仅当满足能观测性条件时，才能设计状态观测器。在下血关于状态观测器的讨论中，我们用壬表示被观测的状态向最。在许多实际情况屮，将被观测的状态向最用于状态反馈，以产生所期望的控制向最。考虑如下线性定常系统x=Ax+Bu(4.27)y=Cx(4.28)假设状态向量兀由如下动态方程jc=Ax+Bu+Ke(y-Cx)(4.29)中的状态丘来近似，该式表示状态观测器。注意到状态观测器的输入为y和“,输出为丘。式（4.29）的右端最后一项包含被观测输出C壬之间差的修正项。矩阵Ke起到加权

4、矩阵的作用。修正项监控状态变量丘。当此模型使用的矩阵4和3与实际系统使用的矩阵4和3之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的羌异，该附加的修正项将减小这些影响。图4.5所示为系统和全维状态观测器的方块图。下面将详细讨论用朋阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器，其屮的附加修正项包含测最输出和估计输出之间的羌。在讨论过程屮，假设在此模型中使用的矩阵A和B与实际系统使用的相同。图4.5全维状态观测器方块图4.5.2全维状态观测器在此讨论的状态观测顺的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式(4.27)和(4.28)定义。观测器方程由

5、式(4.29)定义。为了得到观测器的谋差方程，用式(4.27)减去式(4.29),可得x-?=Ke(Cx—Cx)=(A-KQ(x-x)(4.30)定义兀和丘Z差为误差向量，即e=x-x则式(4.30)改写为e=(A-KcC)e(4.31)由式(4.31)W看出，误差向量的动态特性由矩阵A・KeC的特征值决定。如果矩阵A-KeC是稳定矩阵，则对任意初始误差向量w(()),误差向量都将趋近于零。也就是说，不管兀(())和丘(0)值如何，丘⑴都将收敛到a-(r)o如果所选的矩阵A・KeC的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定口足够快，则任意误差

6、向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。如果系统是完全能观测的，则可证明可以选择K。。使得A・K°C具有任意所期望的特征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵，以产生所期望的矩阵A・位(7。下面讨论这个问题。4.5.3对偶问题全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵Ke，使得由式（4.31）定义的谋旁动态方程以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和谋旁动态方程的响应速度由炬阵A-KeC的特征值决定）。因此，全维观测的设计就变为确定一个合适的使得A-KeC具有所期望的特征值。因而，全维状态观测器的设计问题就变成与4.2节讨论的极点配置

7、问题相同，考虑如下的线性定常系统x=Ax+Buy=Cx在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统2=AUun=B1z.的极点配置问题。假设控制输入为v=-Kz如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵K,使得矩阵Ar-CtK得到一组期望的特征值。如果“I,"2,…，是期望的状态观测器矩阵特征值，则通过取相同的"i作为对偶系统的状态反馈增益矩阵的期望特征值，可得si-（AT一LK）

8、=-“2）…注意到AT-CtK和A-K^C的特征值相同，可得5/-（A7'-Cr/C）

9、=

10、sl-（A-KTC）比较

11、特征多项式sI-（A-KtC）和观测器系统（参见式（4.31））的特征多项式sI-（A-KeC）,nJ-找出心和的关系为Ke=KT因此，采用在对偶系统中山极点配置方法确定矩阵乙原系统的观