现代控制理论___第-章

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1、现代控制理论基础第一章控制系统的数学模型1-1状态空间表达式一：基本概念系统的状态定义为信息的集合状态变量是确定系统状态的最小一组变量，其选择不是唯一的，但维数相同例如对于R-L-C网络，构成系统的一组状态变量或构成系统的一组状态变量状态变量的最小性只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量和t≥t0各时刻的任意输入变量组任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定状态变量对系统行为的完全表征性那么系统的可以选择由n个状态变量组成的正交空间称为状态空间。状态向量和状态空间由n个状态变量组成的一个列向量称为状态向量，状态向量的各个分量即为状态变量。控制系统的状态既可以用状态变量表

2、示，也可以用状态向量表示，或用状态空间中的一个点来表示。二：状态空间表达式描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。一般地，以u表示输入向量，以y表示输出向量，以x表示状态向量，A-系数矩阵(n×n)，B-输入矩阵(n×r)，C-输出矩阵(m×n)，D-直接传输矩阵(m×r)则系统的动态方程可表示为BCAD对于线性定常系统，A、B、C、D为实常数矩阵。而对于单输入、单输出线性定常系统，系统的动态方程常写为：对于线性时变系统，矩阵A、B、C、D为时间

3、的函数，系统的动态方程表示为：B(t)C(t)A(t)D(t)u（t）为输入，uc(t)为输出，若选择iL(t),uc(t)为一组状态变量，则：写成矩阵形式例如对于R-L-C网络，三：状态变量的选取状态变量选择的非唯一性选择不同的状态变量，系统的动态方程是不一样的。例如对于R-L-C网络，考虑到选取状态变量时的考虑…对于一般的电路图，常选择储能元件的参数（如电容电压、电感电流）作为状态变量。应注意状态变量的独立性。状态变量的数目是唯一性，它等于系统微分方程的阶数四：动态方程的建立例1选取：例2选取例3M1-2系统的微分方程和动态方程之间的变换通常一个单输入-单输出系统的微分方程为：这是一个

4、n阶系统，可用动态方程描述为1：由动态方程求微分方程例：设试求系统的微分方程式解2：由微分方程求动态方程由于状态变量选择的非唯一性，系统的微分方程可改写成不同形式的动态方程1）系统的微分方程中不含输入量的导数项选取n个状态变量则有写成矩阵形式：2：由微分方程求动态方程由于状态变量选择的非唯一性，系统的微分方程可改写成不同形式的动态方程1）系统的微分方程中不含输入量的导数项写成矩阵形式：可画出系统的动态结构图例：试写出系统的动态方程解2）系统的微分方程中含有输入量的导数项为避免在动态方程中出现u的导数项，可用下列方法方法一选取方法一选取待定系数的选择应使状态方程的表达式中不含u的导数项写成矩

5、阵形式其动态结构图如下例n=3方法二：改写为令整理，得方法三设可见令有1-3系统的传递函数矩阵一：传递函数矩阵的定义若系统有r个输入，m个输出，在初始条件为零时，系统的输入、输出间的关系由下列矩阵方程表示：或称为系统的传递函数矩阵二：由动态方程求传递函数矩阵设系统动态方程为在初始条件为零的情况下，对动态方程进行拉氏变换对于单输入单输出系统，上式变为状态变量对输入量的传递函数矩阵例求系统的传递函数矩阵解三:传递函数(矩阵)与状态空间描述的比较(1).传递函数(矩阵)是系统的外部描述状态空间描述是系统的内部描述内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.外部描述一般的说

6、只是对系统的一种不完全描述(2).使用对象、初始条件不同。(3).对于复杂系统,可以用实验方法法获得频率特性,进而求得传递函数(矩阵)；通过系统辨识,可以求得传递函数(矩阵),或状态空间描述1-4离散系统的数学模型一：状态空间表达式对于线性离散系统，动态方程的一般形式为对于单输入单输出系统对于线性时变系统例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x

7、104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数写成矩阵形式1:差分方程中不含有输入量的差分项令二：由差分方程求动态方程2：差分方程中含有输入量的差分项选取写成矩阵形式其中例已知线性定常离散系统的差分方程为试求其状态空间表达式解画出其动态结构图三：脉冲传递（函数）矩阵脉冲传递矩阵为例：1-5线性变换一．等价系统方程1．线性定常系统作线性变换代入动态方程(1)(2)方程