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《第2章 第3节 随机变量的数字特征.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三节随机变量的数字特征1前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而数字特征则是由概率分布所决定的常数，它刻划了随机变量的某一方面的性质.在许多实际问题中,分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征常常容易通过数理统计的方法得到.在这些数字特征中，最常用的是数学期望和方差2一、数学期望的概念MathematicalExpectation3有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：1.离散型随机变量的数学期望例1甲：击中环数891030%10%60%频率乙：击中环数89
2、1020%50%30%频率问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：4问哪一个射手水平较高？解假定各射N枪，则平均每枪所得环数约为甲：乙：可见甲的水平高些.甲：击中环数891030%10%60%频率乙：击中环数891020%50%30%频率5定义设离散型随机变量X的概率分布为若级数绝对收敛，则称之为X的数学期望，记为E(X)，即60-1分布例2设随机变量X服从参数为p的0-1分布,求EX.7例3面额为1元的彩票共发行1万张，其中可得奖金1000元、20元、5元的彩票分别有2张、50张和
3、500张.若某人购买1张彩票，则他获奖金额X的数学期望E(X)为多少？解10002050.0002XP00.0050.050.9448则8首先要对未来市场作出适当估计.假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对1之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,因此,如果立即扩展，则利润的期望值是例4假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利328(万元)；如果未来市场萧条，则将损失80(万元).如果这个企业等待下一年再扩展，在
4、市场繁荣的情况下，将获利160(万元),而在市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元).现在的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？数学期望在经济管理中经常用到，特别是在决策问题中.解9市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3,如果立即扩展，则利润的期望值是如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利.如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为10如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为
5、而推迟扩展所期望的利润为按此计算结果，则立即扩展较为有利.11例5(一种验血新技术)在一个人数很多的单位中普查某种疾病,N个人去验血,有两种方法:(1)每个人的血分别化验,共需N次;(2)把k个人的血样混在一起化验,如果结果是阴性,那么一次就够了；如果呈阳性,那么对这k个人的血样再逐次化验,共需k+1次.假定对所有人来说,呈阳性的概率为p,且相互独立,下面说明当p较小时,方法(2)能减少化验的次数.解用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为12用方法(2)验血时,每个人需化验的次数X的概率分布为
6、因此，N个人需化验的次数的数学期望为例如，132.连续型随机变量的数学期望定义设连续型随机变量X的概率密度为f(x),如果积分绝对收敛，则称之为X的数学期望，记为E(X)，即14例6设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布,求EX.解X的概率密度为区间中点15解例7设随机变量X的概率密度函数为求X的数学期望.16解例8某种电子元器件的使用寿命X是个随机变量，其概率密度为若规定使用寿命在500小时以下为废品，产值为0；在500到1000小时之间为次品，产值为10元；在1000到1500小时之间为二等品，产值
7、为30元；1500小时以上者为一等品，产值为40元，求该种产品的平均产值.设该种产品的产值为Y元，17所以18解例9设随机变量X的概率密度函数为由规范性，而19二、数学期望的简单性质1.E(C)=C，其中C是常数;2.E(aX)=aE(X);3.E(X+b)=E(X)+b;4.E(aX+b)=aE(X)+b.其中a与b是常数.证略.20随机变量的函数的数学期望(1)若X是离散型随机变量，且X的概率分布为(2)若X是连续型随机变量，且其概率密度为f(x)，则则证略.21解X-2-100.1P10.20.30.
8、4例10设随机变量X的概率分布如下：或利用性质：22解例11设随机变量X的概率密度为拉普拉斯分布23例12设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，求E(X2)及E(X-EX)2.解X的概率密度为24解例13游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行．假设有一游客在早上8点的第X分钟到达底层等候电梯，且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．以Y表示
