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《第16章 随机变量的数字特征 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、16《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案第十六章随机变量的数字特征本章将介绍如何用确定的数值来刻划随机变量的统计特征（称为数字特征）.主要有：用于刻划取值的平均位置或集中位置的数学期望；用于刻划取值分散程度的方差；用于刻划两个随机变量之间内在相关性的相关系数以及矩等.在介绍了以上数字特征概念的基础上，本章进而介绍常见分布的数字特征，求随机变量函数的数学期望的常用公式以及期望、方差和相关系数的性质，本章还将简单介绍极限理论以及切比雪夫不等式.§1数学期望一、数学期望的概念对于随机变量，时常要考虑它的平均取什么值.先来看一个例子：经过长期观
2、察积累，某射手在每次射击中命中的环数服从分布：0567891000.050.050.10.10.20.5（其中0表示脱靶）一种很自然的考虑是：假定该射击手进行了100次射击，那么，约有5次命中5环，5次命中6环，10次命中7环，10次命中8环，20次命中9环，50次命中10，没有脱靶的.从而在一次射击中，该射手平均命中的环数为(环)它是的可能取值与对应概率的乘积之和.由此引进如下定义：定义1设为一离散型堕机变量，其分布列为,，若级数绝对收敛，则称这级数为的数学期望，简称期望或均值.记为，即=（16.1）否则，称的数学期望不存在.在定义1中，要求绝对
3、收敛是必需的，因为的数学期望是一确定的量，不受在级数中的排列次序的影响，这在数学上就要求级数绝对收敛.的数学期望也称为数以概率为权的加权平均.第16页共16页16《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案定义2设为一连续型随机变量，其密度函数是，若时，则称（16.2）为的数学期望，否则称的数学期望不存在.二、常见分布的数学期望1．二点分布设～b(1,p),即,,,.由（16.1）式，有 .2．二项分布设～b(n,p),即,…,n,,.按（16.1）式，有 3．泊松分布设，即，0,1,2,…，.由（16.1）式，有.这说明，泊松分布
4、的参数就是服从泊松分布的随机变量的均值.4．均匀分布设,即的密度函数为按（16.2）式，有它恰好是区间的中点，这与均值意义相符.第16页共16页16《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案1．指数分布设，即的密度函数为按（16.2）式，有.2．正态分布设,即的密度函数为按（16.2）式，有这说明正态分布的参数是正态随机变量的均值.三、数学期望的性质定理16.1数学期望具有下列性质：（1）;（2）（3）;（4）设、相互独立，则，其中上面各式中的为常数，所提及的数学期望都存在，定理的证明从定义出发直接验证，证明从略.根椐定理16.1,运用归纳法
5、，易得如下推论：推论1其中均是常数，特别有.推论2若相互独立，则.数学期望的性质有助于简化数学期望的计算.第16页共16页16《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案关于随机变量函数的期望，这里只介绍两面个重要公式而不加证明.1．如果是一离散型堕机变量，概率分布列为,，则它的函数的数学期望可按下面公式计算：(16.3)2．如果是连续型随机变量，密度函数为,则的期望可按下面公式计算：(16.4)上面两个公式的重要意义在于当我们求时，不必知道的分布，只要知道的分布就可以了，上述两个公式还可以推广到多维随机变量的情形，在此从略.例1设求解因为所以
6、从而因此，按数学期望的性质，得.例2设的分布列为123P0.10.70.2求的数学期望.解按公式（16.3），得（1）（2）例3掷20个骰子，求这20个骰子出现的点数之和的数学期望.解设为第骰子出现的点数，，那么，20个骰子点数之和就等于易知，有相同的分布列所以第16页共16页16《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案于是，本例将随机变量分解成若干个随机变量之和，利用随机变量和的期望公式，把的计算转化为求若干个随机变量的期望，使的计算大为简化.这种处理方法具有一定的普遍性.例4已知,求．解的密度函数为按公式（16.4）.例5假定国际市场上
7、每年对我国某种出口商品需求量是随机变量（单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布.如果售出一吨，可获利3万元，而积压一吨，需支付保管费及其它各种损失费用1万元，问应怎样决策才能使收益最大?解设每年生产该种商品t吨，2000收益万元，则即又服从[2000,4000]上均匀分布，所以的密度函数为按公式（16.4），有于是第16页共16页16《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案解得t=3500;又故为最大值点.即每年生产该种商品3500吨时收益最大，这时可望获利g(3500)=8250(万元).§2方差矩一、方差的概念上一节给出的
8、数学期望的概念反应了随机变量取值的平均水平.当然，对于随机变量，仅仅抓住这一个特征还是不够的，我们还需要了解它对于期望值的
