多维随机变量的数字特征

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1、第四章随机变量的数字特征分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，因而不需要求出它的分布函数.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业人均赢利水平；例如：研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及每粒的平均重量；检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;1考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,

2、这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写23随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容4定义设离散型随机变量X的分布列为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望记为1.数学期望的定义§4.1数学期望5设连续型随机变量X的概率密度为若积分绝对收敛，则称此积分的值为随机变量X的数学期望，记为数学期望简称期望，又称均值注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均6解例17例2解例3解8例4解9例5解10例6解11常见随机变量的数学期望

3、分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()12分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)132.数学期望的性质14证明：仅就证性质（4）15解引入随机变量则有例716故（次）17例818解19203.随机变量函数的数学期望2122X13P3/41/4Y0123P1/83/83/81/8X103/83/8031/8001/8Y0123例9解23解例1024例11解25解例12设二维连续随机变量的概率密度为26数学期望的性质注意:273.数学期望的简单应用市场上对某种产品每年的需求量为X吨，X~U[2000,4000],每出售一吨可赚3万元,售

4、不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？例1328解设每年生产y吨的利润为Y，2000

5、第i组需化验的次数为XiXiP1k+132若则EX

6、度——数注:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度40若X为离散型随机变量，概率分布为若X为连续型随机变量，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：412.方差的性质42例1设X~P(),求DX解3.方差的计算43例2设X~B(n,p)，求DX解一仿照上例求DX解二引入随机变量相互独立，故44解例3设X~U(a,b)，求DX45例4设X~N(,2),求DX解46常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()47分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)48f(x)x0μ若μ固定,σ改变,则σ越大,曲线

7、越平坦,σ越小,曲线越陡峭σ小σ大方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同σ2的密度曲线反映出来:49解例550证例651例7已知X,Y相互独立，且都服从N(0,0.5),求E(

8、X–Y

9、)解故52例8设X表示独立射击直到击中目标n次为止所需射击的次数，已知每次射击中靶的概率为p，求EX,DX解令Xi表示击中目标i-1次后到第i次击中目标所需射击的次数，i=1,2,…,n相互独立,且5354故55例9求EY,DY解5657标准化随机变量为X的标准化随机变