随机变量的数字特征(NXPowerLite)

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1、关键词：数学期望方差协方差相关系数第四章随机变量的数字特征1问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。2计算以下25人的平均身高(cm)身高(xi)160165170175180人数(ni)1381213定义：定义：数学期望简称期望，又称均值

2、§1数学期望4例1：5例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。解：是指数分布的密度函数问题：将2个电子装置并联联接组成整机，整机寿命的期望又是多少？故，只要求出一般指数分布的期望（即E(X1))，就可得到E(N)67例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期

3、望利润是多少？解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，设Y表示一周内所获利润，则Y-20510P0.0570.2050.4100.3288例5：离散随机变量的数学期望910例6：11有时需要求随机变量函数的数学期望，例：121314例7：15161718例11：设随机变量(X,Y)的概率密度为：X=1192021数学期望的特性：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况22证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：23例9：24例10：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没

4、有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)分析：X是离散随机变量，取值范围为1，2，…,10为求X的数学期望，只要求的X的分布律即可！经过分析，此题中X的分布律很难求得！25例10：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来

5、求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。解：引入随机变量：26例11：投一骰子10次，求总点数之和的平均值设X表示投一骰子10次总点数之和Xi表示第i次的点数，i=1，2，…，1027例12：设有5只球，随机地丢入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若某盒落入的球的个数恰好与盒子的编号数相同，则称为一个配对，以X记配对的个数，求E(X)解：X的取值范围为虽然X的取值只有三个值，但其分布律也不容易求得。0，1，228§2方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿

6、命为：一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时；单从平均寿命这一指标无法判断，需进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。方差──正是体现这种意义的数学特征。问题：哪批灯泡的质量更好？29定义：30对于离散型随机变量X，对于连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：31例1：设随机变量X具有数学期望32例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：33例3：34例4：解：X的概率密度为：35例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：即对指数分布而言，方差是均值的平

7、方，而均值恰为参数θ36方差的性质：37证明：38例6：39例7：表1几种常见分布的均值与方差数学期望方差分布率或密度函数分布0－1分布二项分布b(n,p)泊松分布均匀分布U(a,b)指数分布正态分布41例8：设活塞的直径(以cm计)汽缸的直径X,Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率。43仅此项正确例9：44例10：4546§3协方差及相关系数对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。4748协方差的性质：思考题：49相关系数的性质

8、：50相关系数的性质：5152例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：X-101P1/41/21/4已知,判断X和Y是否相关？是否独立？53教材P132例1中，虽然有Y=X2的2次方关系，但不是线性关系,所以两者却是不相关的。经检验得两者也不独立。所以，在同时需要判断独立性与相关性问题中，可以先作初步估计，如看似独立的，先判断独立