阅读与思考对数的发明.ppt

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1、2.2.1对数与对数运算一、对数：1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：其中叫做对数的底数，叫做真数。注：1.对数式可看作一种记号，表示关于的方程的解。2.也可以看作一种运算，即已知底为幂为，求幂指数的运算。3.对数式可看作幂运算的逆运算。练习：1.若，则（）2.的底数是，真数是。2.常用对数和自然对数：(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为。(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为。练习：与的底数

2、分别是（）3.对数与指数的关系：当且时，注：当时，，则（且）练习：化为指数式是（）4.对数的基本性质：(1)负数和零没有对数练习：1.在中，实数的取值范围是（）。5.对数恒等式：证明：设，则，由指数函数的单调性知：证明：由得将代入得：例1：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：解：例2：求下列各式中的值：解：又于是：于是：例3：已知，求的值解：又且二、对数的运算：1.由于设由对数的定义，得：2.由于设由对数的定义，得：由对数的定义，得：3.设，则即：总结:如果，且，，那么：注：1.一般情况下

3、：练习：1.的值为（）2.的值为（）例4：用表示下列各式：解：例5：求下列各式的值：解：例6：计算下列各式的值：解：三、换底公式：证明：设，由对数定义知道，两边取为底的对数，得，即注：练习：。例8：20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为：其中，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。(1)假设

4、在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）解：∴这是一次约为里氏4.3级的地震。(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）。解：由可得：当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；∴两次地震的最大振幅之比为：即7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。例9：生物体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时

5、碳14的残余量约占原始含量的76.7%。试推算马王堆古墓的年代。解：我们先推算生物死亡年后每克组织中的碳14含量。设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数与其体内每克组织的碳14含量有如下关系：因此，生物死亡年后体内碳14的含量由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，于是，这样生物死亡年后体内碳14的含量由对数与指数的关系，指数式可写成对数式湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残留量约

6、占原始含量的76.7%，即，那么：由计算器可得：∴马王堆古墓是近2200年前的遗址。例10：已知，求（用表示）。解：例11：已知，求的值解：即：解得：或或由题意知，∴当时，，则无意义不合题意，应舍去。当时，将代入已知条件，符合题意。