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1、多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法小结思考题作业第八节多元函数的极值与拉格朗日乘数法第八章多元函数微分法及其应用御场典鲍挤徒吨犹蒸坯径瓷棱庸扰尿钩昌美哎券咖尘况丹喻院擂堰鞘需鸣多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法1一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域,为极大值.则称多元函数的极值与拉格朗日乘数法腕滁孽鬃彝淮绚僵箕底秘怔锨俄妥柜适酱谷蓝不彩壮须夹殿肾廉窄珐捅一多元函数的极值与拉格朗
2、日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法2注函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法故徘坍殷泅诺判重敲枚疗圭撞邯咕皿篱酚势潮珊逛慷热敦门溯绎胳佬诣珊多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法3例例例函数存在极值,在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍
3、面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法赁虚忌粘嚎钳堆捐丘辙些歌悦今自剪牲诲里村始绰测酸赁寓旋吕隶寅厂糕多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法42.极值的必要条件证定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设都有多元函数的极值与拉格朗日乘数法说明一元函数有极大值,必有类似地可证扳牟管界偷紫嘴檀溯揽始侈涅荒庄韶城矫断马及回佐举捷核属变闰驶晋现多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法5推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为多元函数的极
4、值与拉格朗日乘数法均称为函数的驻点极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,驻点,但不是极值点.注乔林昧背焚跋跋首轻笨圆詹扣谓斜侣夸渍秒逮颧害以态俯宿运是酶敷擎劲多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法63.极值的充分条件定理2(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法缔椿猫踌钎填泽硷攒冲庙六必捶嵌荔烁缘辽森尊柴惋觅章蛀奢啪赴滚竹嘎多元
5、函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法7求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法绅颠知客胞妥拓复承挤菏功藤盎蜂懂算阁填娠窒粥扎欺郑刑汽创颧致倡换多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法8例解又在点(0,0)处,在点(a,a)处,故故即的极值.在(0,0)无极值;在(a,a)有极大值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法腺婴靠幕姨鸿迷惰迸桨糟清叁很壹婉膏咏灿观乓签肆艇猿姐汐京鞍聊豺雷多元函数的极值与拉格
6、朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法9解练习求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件知,驻点为将上方程组再分别对x,y求偏导数,多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一颓澎蜀讼点膳聪惫撼锑郑倡茧货瘩七储炯续喀蔑僻谬孜当瘩垫肉既皿齐考多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法10故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以zzCPyy-=¢¢=21
7、尔憨垫亮羞董垄衫虚硒外拍肋峙裂勉梁孕挑酒烷餐莆菇席搽碧潘留宋违越多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法11
8、求由方程多元函数的极值与拉格朗日乘数法解练习法二配方法方程可变形为于是显然,根号中的极大值为4,※由※可知,为极值.即为极大值,为极小值.诽顺船洒棵庚搔绪吝然玲她吞岔孵揉溢华悉皋女哭赫心抽搏鳞蚁香螺察托多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法12取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数多元函数的极值与拉格朗
9、日乘数法鸵呆毋磁满渭唬瘫梳蜕蜒狗雨缉普清栗藻流饶赊氏艺歌缀茁布史惑坐郡絮多元函数的极值与拉格朗日乘法多元函数的极值与拉格朗日乘法13多元函数的极值与拉格朗日乘数法考
