拉格朗日条件极值.doc

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1、拉格朗日乘子法的简单证明(不知道对不对)应用例题：已知有一个体积为a的铁块。把这个铁块打造成一个长方体，求其表面积s的极小值。解:依据题意有如下关系式构造函数M如下：只要求M函数的极值，即为s的极值。以上四个方程可解出四个未知数x，y，z，c。将(7)带入(4)，(5)，(6)后得：可得:此时，面积s为：证明过程：拉格朗日乘子法，拉格朗日条件极值。已知，自变量x和y符合关系式(1)，求表达式(2)的极值。解:若可以从(1)式中求出y的表达式(3)，则可以把(3)式带入(2)式。此时，就变成求单个自变量的函数极值问题，即为(4)式。对(1)进行全微分，可得(5)

2、式,进而得到(6)式。将(6)式带入(4)式可得(7)式。设极值点坐标为(x0,y0),则此时将极值点坐标带入(7)，并采用(8)式记号后得(9)式反过来，我们假设存在(10)式，则将极值点的坐标(x0,y0)带入后可得(10)式等于0。依据(8)式定义知当坐标(x0,y0)确定后λ(x0,y0)为一常数(但此前λ(x,y)为变数)。类似可得(11)式反过来，我们假设存在(12)式，则将极值点的坐标(x0,y0)带入后可得(12)式等于0。对于符合限制条件的自变量，在极值点处有(14)式成立,进而可得(15)式在极值点处(6)式和(15)式同时成立。对比(6)

3、式和(15)式后得出(16)式。因此，(6)式中的λ和(13)式中η相等。以上事实提示我们可以预先构造出如下函数通过以上分析可知，在g函数的极值(x0,y0)处，则必有以下三式同时成立在极值点的时候，以上三个式子联立可以求得x0,y0,μ