x12-3条件极值拉格朗日乘数法

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1、条件极值。拉格朗日乘数法§12-3例：从斜边长为L直角三角形中求最大周长直角三角形。解:设两直角边长为x,y，则周长z=L+x+y在条件L2=x2+y2下求二元函数z=L+x+y的极值。自变量附加条件的极值问题称为条件极值。总结：(1)求二元函数f(x,y)在条件,F(x,y)=0（曲线）求极值时。1）可从F（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z=f(x,y(x))转化为一元函数的无条件极值。2）若从F（x,y）=0中解不出y=y(x)？(2)求二元函数f(x,y,z)在条件,F(x,y,z)

2、=0(曲面)求极值时。1）可从F（x,y,z）=0中解出z=z(x,y)代入z=f(x,y,z(x,y))转化为二元函数的无条件极值。2）若从F（x,y,z）=0中解不出z=z(x，y)？若可从F（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z=f(x,y(x))的可能极值点为驻点。即求解方程组解出x,y,z即得可能极值点的坐标.若可从F（x,y,z）=0中解出z=z(x,y)，f(x,y,z(x,y))的可能极值点为驻点。令g(x,y)=f(x,y,z(x,y))求解方程组解出x,y,z,t即得可能极

3、值点的坐标.解则例1求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.则问题就是条件求函数的最大值.令下，即由(2),(1)及(3),(2)得由(2),(1)及(3),(2)得于是，代入条件，得解得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，所以，最大值就在此点处取得。故，最大值最大值一定存在，解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得将(5)，(6)代入(4)：于是，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取

4、得。故，最大值例3（P149）.证明点（x0,y0,z0)到平面ax+by+cz+d=0的（最短）距离为目标函数例4.解则设则问题就是在条件下，求的最小值。构造函数由(1),(3)得由(2),(3)得代入(4)得例5设n个正数x1x2…...xn的和等于常数a时求它们的乘积的最大值，并证明n个正数a1a2…...an的几何平均值小于算术平均值即：解解：设u=f(x1x2…...xn)在条件x1+x2…...+xn=aL(x1x2….xnλ)=x1x2….xn+λ（x1+x2….+xn-a）解可得

5、即例7.在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。解设P(x，y)为椭圆上任意一点，则P到直线的距离为求d的最小值点即求的最小值点。作由lagrange乘数法，令得方程组解此方程组得于是由问题的实际意义最短距离存在，因此即为所求点。