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1、八年级数学·下新课标[人]第十八章 平行四边形学习新知检测反馈18.2.2菱 形（第1课时）复习旧知前面我们学习了平行四边形、矩形,请同学们回忆平行四边形、矩形有哪些性质.图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角相等且互相平分观察下面的图片,思虑下面的问题：(1)图片中给我们以哪些图形的形象?这些图形有哪些共同特点?(2)什么样的图形是菱形?你能给菱形下个定义吗?学习新知有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图,菱形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O.(1)图形中有哪些相等的线段?
2、相等的角?思考(2)对角线AC,BD有怎样的位置关系?(3)菱形ABCD是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?性质定理1:菱形的四条边都相等.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.小结∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠CAB=∠CAD,∠ACB=∠ACD,∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.性质定理2:菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.平行四边形的面积如何求呢?追问:菱形的面积如何计算呢?思考两条对角线的乘积的一半求菱形的面积.底乘高知识拓展(1)菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在的直线
3、就是它的对称轴.(2)利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等,它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形,由此可与勾股定理联系,得到对角线和边之间的关系.例：(教材例3)如图,菱形花坛ABCD的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).解:∵花坛ABCD的形状是菱形,∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中,AO=AB=×20=10.BO=∴花坛的两条小路长:AC=2AO=20(m),BD=2BO=2
4、0≈34.64(m).花坛的面积S菱形ABCD=4×S△OAB=AC·BD=200≈346.4(m2).菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质,有关菱形的几何计算问题可以化为特殊三角形(直角三角形、等腰三角形),利用特殊三角形的性质来计算.总结例：(补充)如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证∠AFD=∠CBE.〔解析〕结合图形证明△BCE≌△DCE可得∠CBE=∠CDE;由菱形的对边平行可得∠AFD=∠FDC,等量代换得∠AFD=∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB=CD,CA平分∠BCD.∴∠B
5、CE=∠DCE.又CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE=∠CDE.∵在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC,∴∠AFD=∠CBE.点评:解决菱形问题时,常常综合运用菱形的性质和全等三角形的知识证明两角相等.课堂小结1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质:(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质.(2)菱形的四条边都相等,菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.(3)菱形是轴对称图形,有两条对称轴.3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,也可利用平行四边形
6、的面积公式求菱形的面积.1.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°.已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是()A.25B.20C.15D.10检测反馈解析:∵AC是菱形ABCD的对角线,∠BAD=120°,∴∠BAC=60°.∵AB=BC,∴△ABC是等边三角形.∵△ABC的周长是15,∴AB=5,∴菱形ABCD的周长为5×4=20.故选B.B2.(2015·吉林中考)如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为.解析:连接BD,AC交于点E,如图所示,根据点B的坐标为(8
7、,2),点D的坐标为(0,2)可知BD∥x轴.因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,AE=CE=OD=2,DE=BE=OA=4,所以AC=4,故点C的坐标为(4,4).(4,4)3.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证∠DHO=∠DCO.解析:要证明∠DHO=∠DCO,根据等角的余角相等,只要证明∠OHB=∠ODC即可.可根据菱形的性质,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形中等边对等角,等角的余角相等来完成证明.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°.
8、∵DH⊥AB于H,∴∠DHB=90°,∴2OH=BD=2OB,∴∠OHB=∠OBH.又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,∴∠OHB=∠ODC.在Rt△COD中,∠
