数学人教版八年级下册正方形复习--有个线段关系问题的探究.ppt

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1、人教版数学教材八年级下正方形复习有关线段关系问题的探究温故而知新已知：如图1，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG.（1）猜想BE与DF有什么关系？证明你的猜想。图1CDGOEABF探究一解：BE=DF且BE⊥DF，证明如下：在正方形ABCD中∵BC＝DC，∠BCE＝90°＝∠DCF，而CF＝CE，∴△BCE≌△DCF（SAS)∴BE=DF,∠CDF=∠CBE∵∠DEG=∠BEC(对顶角相等）∴∠CDF+∠DEG=∠CBE+∠BEC=90°∴∠BGD=90°∴BE⊥DF(BE=DF且BE⊥

2、DF)（2）OG与BF有什么关系？证明你的结论。解：OG∥BF且OG＝BF；证明如下：∵BE平分∠DBC∴∠DBE=∠CBE∵由（1）可知∠DGB＝∠FGB＝90°，又BG=BG∴△DGB≌△FGB，∴DG=FG，又∵点O是正方形的中心，∴DO=BO∴OG是△DBF的中位线，∴OG∥BF且OG＝BF；重要：说明两条线段的关系应该分别从数量和位置两个方面去考虑！探究二如图2，△ABC是等腰直角三角形，其中CA＝CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并说明你的猜想；G图2解（1）猜想：AF＝BD且AF⊥BD.理由是：设AF与DB

3、交点为G,AC与DB交点为H∵∠BCA＝∠DCF＝90°∴∠BCA+∠ACD=∠DCF+∠ACD∴∠BCD=∠ACF∵FC＝DC，AC＝BC∴△ACF≌△BCD∴AF＝BD，∠FAC＝∠DBC.∵∠BHC+∠DBC＝90°,∠BHC＝∠AHG∴∠AHG+∠FAC＝90°∴∠AGH＝90°∴AF⊥BD.H(AF＝BD且AF⊥BD)（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.①CD边在△ABC的内部②C

4、F边在△ABC的内部结论：在两个变换后的图形中都有：AF＝BDAF⊥BD小结：本题可看作把△ACF绕点C顺时针旋转90°得到△BCD，AC和BD是对应边，它们长度相等，夹角大小刚好等于旋转角度。探究三已知四边形ABCD是正方形，点P是直线CD上一点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F。（1）根据题意，画出图形。（2）请任选一种图形探究BE、DF、EF这三条线段具有怎样的数量关系.然后加以证明。有三种图形都想到了吗？∵DF⊥PA，∴∠DAF+∠ADF＝90°∵∠DAF+∠BAE＝90°∴∠ADF＝∠BAE.∵BE⊥PA，∴∠AEB＝90°＝∠AFD.

5、又∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，AE＝DF.∵AF＝AE+EF，∴BE＝DF+EF.解：图①的结论是BE＝EF+DF，证明如下：BE=EF+DFDF=BE+EFEF=BE+DF图②图③的结论证明与图①证明类似ADCB请同学们归纳一下本题有什么特点。如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，以点O为顶点作∠MON=90°。当∠MON绕点O旋转，且射线OM、ON分别交正方形ABCD的边AB、BC于点E、F时，BO、EF交于点P．探究四（1）证明：△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF（2）探究BE、BO、BF这三条线段具有怎样的数量关系

6、.然后加以证明。（3）探究AE、EF、FC这三条线段具有怎样的数量关系.然后加以证明。简析：∵△AOE≌△BOF∴AE=BF∴BE+BF=BE+AE=AB∵△AOB为等腰直角△，∴AB=BO∴BE+BF=BO请同学们归纳一下本题又有什么特点。课堂小结2、正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，因而历年各地中考试卷经常会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性和有关知识（特别是三角形的知识），结合图形大胆的探索、猜想、归纳、验证即可使问题获解。1、说下这节课主要内容，你有何收获？已知：如图，点E在正方形ABCD的边CD

7、上，且CE=2DE,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF。课后作业1GFEDCBA（1）探究DE、EG、BG这三条线段具有怎样的数量关系.然后加以证明。（2）证明：CG=FG.（3）证明：CF∥AG.参考答案：（1）DE+BG=GE∵CG=GF=BG∴△BCF为直角△，且CF⊥BF.∴CF∥AG已知：四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=30°，试探究BC、AC、DC这三条线段具有怎样的数量关系.然后加以证明。课后作业2ADC