中考利用正方形的性质探索线段的数量关系问题

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1、Http://www.fhedu.cn中考利用正方形的性质探索线段的数量关系问题江苏刘顿我们知道，正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，因而历年各地中考试卷总是会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性，结合图形大胆的探索、归纳、验证即可使问题获解.现以2006年中考试题为例说明如下：例1（南通市）已知：如图1，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG.（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？

2、证明你的结论；（3）若GE·GB＝4－2，求正方形ABCD的面积.　　分析（1）要证明△BCE≌△DCF，由正方形的特性和CF＝CE，利用“SAS”即证；（2）由（1）可知∠CBE＝∠CDF，得∠DGE＝∠BCE＝90°，即BG⊥DF，而BE平分∠DBC，交DC于点E，所以由等腰三角形的“三线合一”定理知G是DF的中点，于是可知OG是△DBF的中位线，则有OG＝BF；（3）要求正方形ABCD的面积，只要求出其边长，若设BC＝x，则DC＝x，BD＝x，CF＝(－1)x，易知△DGE∽△BGD，即有GD2＝GE·GB，再由条件GE·GB＝4－2，并结合勾股定理，可以求出

3、x，从而使问题获解.解（1）证明　在正方形ABCD中，因为BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，而CF＝CE，所以△BCE≌△DCF；（2）由（1）可知∠CBE＝∠CDF，得∠DGE＝∠BCE＝90°，即BG⊥DF，又因为BE平分∠DBC，交DC于点E，所以由等腰三角形的“三线合一”定理知G是DF的中点，又点O是正方形的中心，所以OG是△DBF的中位线，则有OG＝BF；　　　（3）设BC＝x，则DC＝x，BD＝x，CF＝(－1)x，由（1）和（2）易证△DGE∽△BGD，所以＝，即GD2＝GE·GB，又因为GE·GB＝4－2，所以GD2＝GE·GB＝4－2，在Rt

4、△DCF中，由勾股定理，得DC2+CF2＝(2GD)2，即x2+(－1)2x2＝4(4－2)，所以(4－2)x2＝4(4－2)，即x2＝4，所以正方形ABCD的面积是4个平方单位.C图1DGOEABF说明　正方形是有一个角是直角的菱形；正方形又是对角线相互垂直的矩形；正方形是中心对称对称图形，也是轴对称图形.正方形的对角线分其四个全等的等腰直角三角形.凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.cn例2（绵阳市）在正方形ABCD

5、中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F，如图2－①.（1）请探究BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系.若点P在DC的延长线上（如图2－②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢（如图2－③）？请分别直接写出结论；图2（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明.分析　本题考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，找出图中全等的直角三角形，然后根据全等三角形的对应边相等来到处两线段的和等于某条线段.解（1）图2－①的结论是BE＝EF+DF；图2－②的结论是DF＝BE+EF；

6、图－③的结论是EF＝BE+DF.（2）证明图2－①，因为DF⊥PA，所以∠DAF+∠ADF＝90°.因为∠DAF+∠BAE＝90°，所以∠ADF＝∠BAE.因为BE⊥PA，所以∠AEB＝∠AFD＝90°.在正方形ABCD中，AB＝AD，所以△ABE≌△DAF，所以BE＝AF，AE＝DF.因为AF＝AE+EF，所以BE＝DF+EF.说明　求解本题中的问题一定要根据图形的特征，从中找到求解的最佳突破口.例3（河北省）如图3－①，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是B

7、D中点）按顺时针方向旋转．（1）如图3－②，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；A（G）B（E）CD（F）O③NAGCDOMFEB②①FAB　CD　OEGMN图3（2）若三角尺GEF旋转到如图3－③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail